反比例函数

18.4反比例函数（2）
知识技能目标
1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；
2.利用反比例函数的图象解决有关问题．
过程性目标
1.经历对反比 例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质；
2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数 形结合思想解数学问题．

过程
一、创设情境
上节的练习中，我们画出了问题1中函数 的图象，发现它并不是直线．那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数 （k是常数，k≠0）的图象，探究它有什么性质．
二、探究归纳
1.画出函数 的图象．
分析 画出函数图象一般分 为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．
解 1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：

2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(－6,－1) 、(－3,－2)、(－2,－3)等．
3.连线：用平滑的 曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的 第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．

上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)．
提问 这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？
学生试一试：画出反比例函数 的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）．

学生讨论、交流以下问题，并 将讨论、交流的结果回答 问题．
1.这个函数的图 象在哪两个象限？和函数 的图象 有什么不同？
2.反比例函数 (k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？
3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？
反比例函数 有下列性质：
(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．
注 1．双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；
2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称．
以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？
在问题1中反映了汽车比自行车的速 度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少．
在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小．

三、实践应用
例1 若反比例函数 的图象在第二、四象限，求m的值．
分析 由反比例函 数的定义可知： , 又由于图象在二、四象限，所以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．
解 由题意， 得 解得 ．

例2 已知反比例函数 (k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次函数y＝kx－k的图象经过的象限．
分析 由于反比例函数 (k≠0 )，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此k＜0，而一次函数y＝kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．
解 因为反比例函数 (k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，所以一次函数y＝kx－k的图象经过一、二、四象限．

例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)．
(1)求这个函数的解析式，并画出图象；
(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．
解 (1)设：反比例函数的解析式为： (k≠0)．
而反比例函数的图象过 点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．
所以 ，k＝－2．
即反比例函数的解析式为： ．

(2)点A(－5,m)在反比例函数 图象上，所以 ，
点A的坐标为 ．
点A关于x轴的对称点 不在这个图象上；
点A关于y轴的对称点 不在这个图象上；
点A关于原点的对称点 在这个图象上；
例4 已知函数 为反比例函数．
(1)求m的值；
(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
(3)当－3≤x≤ 时，求此函数的最大值和最小值．
解 (1)由反比例函数的定义可知： 解得，m＝－2．
(2)因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大．
(3)因为在第个象限内，y随x的增大而增大，
所以当x＝ 时，y最大值＝ ；
当x＝－3时，y最小值＝ ．
所以当－3≤x≤ 时，此函数的最大值为8，最小值为 ．

例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．
(1)写出用高表示长的函数关 系式；
(2)写出自变量x的取值范围；
( 3)画出函数的图象．
解 (1)因为100＝5xy,所以 ．
(2)x＞0．
(3)图象如下：

说明 由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．

四、交流反思
本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质．
1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)．
2.反比例函数有如下性质：
(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线 从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

五、检测反馈
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
(1) ； (2) ．
2.已知y是x的反比例函数，且当x＝3时，y＝8,求：
(1)y和x的函数关系式；
(2)当 时，y的值；
(3)当x取 何值时， ?
3.若反比例函数 的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值．
4.已知反比例函数 经过点A(2,－m)和B(n,2n)，求：
(1)m和n的值；
(2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2( x2,y2)，且x1＜0＜ x2，试比较y1和 y2的大小．

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