2013年高二下册理科数学期末试卷（带答案）

一．（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．若复数 、 、 在复平面上的对应点分别为 、 、C， 的中点 ，则向量 对应的复数是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知全集U=R，集合 ， ，则 = （ ）
A. B.
C. D.
3．命题“存在 ， ”的否定是（ ）
A.不存在 ， B.存在 ，
C.对任意的 ， D.对任意的 ，
4．设随机变量 服从正态分布 （2，9），若 ，则 （ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
5．下边为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（ ）
A. B.
C. D.
6．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ）
A. 24种B. 36种
C. 38种D. 108种
7．设函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a的 取值范围是（ ）
A.a＜-1 B.a＞1
C.-1＜a＜1 D.0≤a＜1
9．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的 数，则这3个数的和为偶数的概率是 （ ）
A． B．
C． D．
10．二项式 的展开式的常数项为第（ ）项
A． 17 B. 18
C. 19 D. 20
11．已知点 是双曲线 右支上一点， ， 分别为 双曲线的左、右焦点， 为 的内心，若 成立。则 的值为（ ）
A. B.
C. D.
12．已知定义在R上的函数 的导函数 的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是
A. B.
C. D.
二、题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数 （其中 ）在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为 。
14． 的展开式中 项的系数是15，则 的值为 。
15．执行下边的程序框图，若 ，则输出的 _________.
16． 把数列 的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第 行有 个数，第 行的第 个数（从左数起）记为 ，则 可记为_________.
三．解答题
17 （12分）．已知数列 满足 ，且 。
（Ⅰ）求 ， ， 的值；
（Ⅱ）猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想。
18（12分）．在一个盒子中，放有标号分别为 ， ， 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 、 ，记 ．
（Ⅰ）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量 的分布列和数学期望．
19 （12分）．如图，在三棱锥S―ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设
PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．
（I）求证： ；（Ⅱ）求证：平面MAP⊥平面SAC；
（ Ⅲ）求锐二面角M―AB―C的大小的余弦值；
20（12分）．已知椭圆 的离心率为 ，并且直线 是抛物线 的一 条切线。
（ 1）求椭圆的方程
（2）过 点 的动直线 交椭圆 于 、 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在求出 的坐标；若不存在，说明理由。
21（12分）．已知函数 ， 。
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值；
（Ⅲ）试判断方程 （其中 ）是否有实数解？并说明理由。
四．请在 22，23，24 三题中任选一题作答
22．（10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形 内接于 ， ，过 点的切线交 的延长线于 点。求证： 。
23．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，极点为 ，已知曲线 ： 与曲线 ： 交于不同的两点 ．
（1）求 的值；
（2）求过点 且与直线 平行的直线 的极坐标方程．
24．（10分）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）若 与2的大小，并说明理由；
（Ⅱ）设 是 和1中最大的一个，当
参考答案
16．（10，495）
17．（Ⅰ） , , （Ⅱ） （ ）,证明略
18．（Ⅰ）随机变量 的最 大值为 ， （Ⅱ）分布列见解析，数学期望为
19．（I）略（Ⅱ）略（ Ⅲ）
20．（1）所求椭圆方程为
（2）在直角坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条 件
21．（Ⅰ） 和 （Ⅱ） （Ⅲ）没有。
22．证明：连接 ，
切 于 ，
，
又
又四边形 内接于 ，
∽
，即 ，又
24． （Ⅰ）
（Ⅱ）因为
又因为


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