宜昌市2013年中考数学试卷解析

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湖北省宜昌市2013年中考数学试卷
一、（下列个小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项千米的字母代号，本大题共15小题，每小题3分，计45分）
1．（3分）（2013?宜昌）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法表示为（　　）
　A．6.75×104吨B．6.75×103吨C．6.75×105吨D．6.75×10?4吨
考点：科学记数法―表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于67500有5位，所以可以确定n=5?1=4．
解答：解：67 500=6.75×104．
故选A．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
　
2．（3分）（2013?宜昌）合作交流是学习教学的重要方式之一，某校九年级每个班合作学习小组的个数分别是：8，7，7，8，9，7，这组数据的众数是（　　）
　A．7B．7.5C．8D．9
考点：众数．
分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此可得出答案．
解答：解：这组数据中7出现的次数最多，故众数为7．
故选A．
点评：本题考查了众数的定义，属于基础题，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
　
3．（3分）（2013?宜昌）四边形的内角和的度数为（　　）w
　A．180°B．270°C．360°D．540°
考点：多边形内角与外角．
分析：根据多边形内角和定理：（n?2）?180 （n≥3）且n为整数）可以直接计算出答案．
解答：解：（4?2）×18 0°=360°，
故选：C．
点评：此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n?2）?180 （n≥3）且n为整数）．
　
4．（3分）（2013?宜昌）某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（　　）
　A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥
考点：由三视图判断几何体．
分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解答：解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选B．
点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．
　
5．（3分）（2013?宜昌）下列式子中，一定成立的是（　　）
　A．a?a=a2B．3a+2a2=5a3C．a3÷a2=1D．（ab）2=ab2
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的；幂的乘方与积的乘方．
分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
解答：解：A、正确；
B、不是同类项，不能合并，选项错误；
C、a3÷a2=a，选项错误；
D、（ab）2=a2b2，选项错误．
故选A、
点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
　
6．（3分）（2013?宜昌）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
　A．x=1B．x≥1C．x ＞1D．x＜1
考点：二次根式有意义的条件．
分析：二次根式有意义：被开方数是非负数．
解答：解：由题意，得
x?1≥0，
解得，x≥1．
故选B．
点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
　
7．（3分）（2013?宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（　　）
　A．8B．6C．4D．2
考点：等腰三角形的判定；矩形的性质．
分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，
故选：C．
点评：此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．
　
8．（3分）（2013?宜昌） 如图，已知AB∥CD，E是AB上一点，DE平分∠BEC交CD于D，∠BEC=100°，则∠D的度数是（　　）
　A．100°B．80°C．60°D．50°
考点：平行线的性质．
分析：根据角平分线的性质可得∠BED=50°，再根据平行线的性质可得∠D=∠BED=50°．
解答：解：∵DE平分∠BEC交CD于D，
∴∠BED= ∠BEC，
∵∠BEC=100°，
∴∠BED=50°，
∵AB∥CD，
∴∠D=∠BED=50°，
故选：D．
点评：此题主要考查了平行线的性质以及角平分线定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
　
9．（3分）（2013?宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
　A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4
考点：三角形三边关系．
分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
解答：解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；
故选：D．
点评： 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
　
10．（3分）（2013?宜昌）2014?2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是（　　）
　A．科比罚球投篮2次，一定全部命中
　B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中
　C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大
　D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小
考点：概率的意义．
分析：根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、科比罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项正确；
B、科比罚球投篮2次，不一定全部命中，正确，故本选项错误；
C、∵科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，
∴科比罚球投篮1次，命中的可能性较大，正确，故本选项错误；
D、科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小，正确，故本选项错误．
故选A．
点评：本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
　
11．（3分）（2013?宜昌）如图，点B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（　　）
　A．1B．2C．3D．4
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=k．
解答：解：∵点B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A， C，
∴故矩形OABC的面积S=k=2．
故选B．
点评：主要考查了反比例函数y= （k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
　
12．（3分）（2013?宜昌）地球正面临第六次生物大灭绝，据科学家预测，到2050年，目前的四分之一到一半的物种将会灭绝或濒临灭绝，2014年底，长江江豚数量仅剩约1000头，其数量年平均下降的百分率在13%?15%范围内，由此预测，2013年底剩下江豚的数量可能为（　　）头．
　A．970B．860C．750D．720
考点：一元一次不等式组的应用．
分析：根据2014年底，长江江豚数量仅剩约1000头，其数量年平均下降的百分率在13%?15%范围内，得出20 13年底剩下江豚的数量的取值范围，即可得出答案．
解答：解：∵2014年底，长江江豚数量仅剩约1000头，其数量年平均下降的百分率在13%?15%范围内，
∴2013年底剩下江豚的数量可能为1000×（1?13%）?100×（1?15%），
即850?870之间，
∴2013年底剩下江豚的数量可能为860头；
故选B．
点评：此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，根据题目中的数量关系，列出算式，求出2013年底剩下江豚的数量的范围．
　
13．（3分）（2013?宜昌）实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　）
　A．a+b=0B．b＜aC．ab＞0D．b＜a
考点：实数与数轴．
分析：根据图形可知，a是一个负数，并且它的绝对是大于1小于2，b是一个正数，并且它的绝对值是大于0小于1，即可得出b＜a．
解答：解：根据图形可知：
?2＜a＜?1，
0＜b＜1，
则b＜a；
故选D．
点评：此题主要考查了实数与数轴，解答此题的关键是根据数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大，负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于本身．
　
14．（3分）（2013?宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（　　）
　A． B．AF=BFC．OF=CFD．∠DBC=90°
考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析：根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．
解答：解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，
∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，
A、 = ，正确，故本选项错误；
B、AF=BF，正确，故本选项错误；
C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；
D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般．
　
15．（3分）（2013?宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）
　A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）
考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质．
分析：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三 角形相似即可判断．
解答：解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠C D：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选B．
点评：本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键．
　
二、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共7小题，计75分）
16．（6分）（2013?宜昌）计算：（?20）×（? ）+ ．
考点：实数的运算．
分析：分别进行有理数的乘法、二次根式的化简等运算，然后合并即可．
解答：解：原式=10+3+2000
=2013．
点评：本题考查了实数的运算，涉及了有理数的乘法、二次根式的化简等运算，属于基础题．
　
17．（5分）（2013?宜昌）化简：（a?b）2+a（2b?a）
考点：整式的混合运算．
专题：．
分析：原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
解答：解：原式=a2?2ab+b2+2ab?a2=b2．
点评：此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
　
18．（7分）（2013?宜昌）如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF．
（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；
（2）连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长．
考点：菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
分析：（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF是菱形；
（2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长．
解答：解：（1）菱形．
理由：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）连接EF，
∵AE =AF，∠A=60°，
∴△EAF是等边三角形，
∴EF=AE=8厘米．
点评：此题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
　
19．（7分）（2013?宜昌）读书决定一个人的休养和品位，在“文明湖北．美丽宜昌”读书活动中，某学习小组开展综合实践活动，随机调查了该校部分学生的课外情况，绘制了平均每人每天课外时间统计图．
（1）补全扇形统计图中横线上缺失的数据；
（2）被调查学生中，每天课外阅读时间为60分钟左右的有20人，求被调查的学生总人数；
（3）请你通过计算估计该校学生平均每人每天课外阅读的时间．
考点：扇形统计图；用样本估计总体．
分析：（1）将总体看作单位1，减去其他所占的百分比即可；
（2）用每天课外阅读时间为60分钟左右的除以其所占的百分比即可；
（3）用加权平均数计算即可．
解答：解：（1）没有阅读习惯或基本不阅读的占：1?10%?30%?55%=15%；
（2）∵每天课外阅读时间为60分钟左右的有20人，占总数的10%，
∴被调查的总人数有20÷10%=200人；
（3）该校学生平均每人每天课外阅读的时间为：
60×10%+40×30%+20×55%=6+12+11=29分
∴估计该校学生平均每人每天课外阅读的时间为29分钟；
点评：本题考查了扇形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是从统计图中整理出有关信息．
　
20．（8分）（2013?宜昌）[背景资料]
一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机（如图），采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元 ，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时．
[问题解决]
（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？
（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值；
（3）在（2）的前提下，种植棉花 的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有 的人自带彩棉机采摘， 的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为14400元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？
考点：一元一次方程的应用；代数式．
分析：（1）先根据一个人操作采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，求出一个人手工采摘棉花的效率，再乘以工作时间8小时，即可求解；
（2）根据一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，列出关于a的方程，解方程即可；
（3）设张家雇佣x人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，先根据张家付给雇工工钱总额14400元，求出采摘的天数为： ，然后由王家所雇的人中有 的人自带彩棉机采摘， 的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，即可得出王家这次采摘棉花的总重量．
解答：解：（1）∵一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，
∴一个人手工采摘棉花的效率为：35÷3.5=10（公斤/时），
∵雇工每天工作8小时，
∴一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘棉花：10 ×8=80（公斤）；
（2）由题意，得80×7.5a=900，
解得a= ；
（3）设张家雇佣x人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，其中王家所 雇的人中有 的人自带彩棉机采摘， 的人手工采摘．
∵张家雇佣的x人全部手工采摘棉花，且采摘完毕后，张家付给雇工工钱总额为14400元，
∴采摘的天数为： = ，
∴王家这次采摘棉花的总重量是：（35×8× +80× ）× =51200（公斤）．
点评：本题考查了一元一次方程及列代数式在实际生产与生活中的应用，抓住关键语句，找出等量关系是解题的关键，本题难度适中．
　
21．（10分）（2013?宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．
（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．
①：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是　30°　；
②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；
（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求 扇形MON的面积的范围．
考点：圆的综合题．
分析：（1）①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；
②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出 = ，进而求出OA即可；
（2）设∠MON=n°，得出S扇形MON= ×22= n进而利用函数增减性分析①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，②当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可．
解答：解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，
∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，
∴∠EBA的度数是：30°；
②如图2，
∵直线l与⊙O相切于点F，
∴∠OFD=90°，
∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，
∴OF∥AD，
∵OF=AD=2，
∴四边形OFDA为平行四边形，
∵∠OFD=90°，
∴平行四边形OFDA为矩形，
∴DA⊥AO，
∵正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴O，A，B三点在同一条直线上；
∴EA⊥OB，
∵∠OEB=∠AOE ，
∴△EOA∽△BOE，
∴ = ，
∴OE2=O A?OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=?1± ，
∵OA＞0，∴OA= ?1；
方法二：
在Rt△OAE中，cos∠EOA= = ，
在Rt△EOB中，cos∠EOB= = ，
∴ = ，
解得：OA=?1± ，
∵OA＞0，∴OA= ?1；
方法三：
∵OE⊥EB，EA⊥OB，
∴由射影定理，得OE2=OA?OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=?1± ，
∵OA＞0，
∴OA= ?1；
（2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON= ×22= n（cm2），
S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，
当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，
过O点作OK⊥MN于K，
∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，
在Rt△ONK中，sin∠NOK= = ，
∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，
∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，
①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，
∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），
②当MN=DC=2时，MN最小，
∴ON=MN=OM，
∴∠NOM=60°，
S扇形MON最小= π（cm2），
∴ π≤S扇形MON≤π．
故答案为：30°．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题关键．
　
22．（12分）（2013?宜昌）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x?t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）
（1）：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A　（t，4）　，k=　 （k＞0）　；
（2）随着三角板的滑动，当a= 时：
①请你验证：抛物线y1=ax（x?t）的顶点在函数y= 的图象上；
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，y2?y1的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，y2?y1的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值；
（2）①求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y= ，若该点满足函数解析式y= ，即表示该顶点在函数y= 图象上；反之，该顶点不在函数y= 图象上；
②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y1= x（x?t）即可求得t=2；
（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是 +4．则t+4= +4，由此可以求得a与t的关系式．
解答：解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，
∴点A的坐标是（t，4）．
又∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0），
∴4=kt，则k= （k＞0）．
（2）①当a= 时，y1= x（x?t），其顶点坐标为（ ，? ）．
对于y= 来说，当x= 时，y= × =? ，即点（ ，? ）在抛物线y= 上．
故当a= 时，抛物线y1=ax（x?t）的顶点在函数y= 的图象上；
②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．
∵AC⊥x轴，
∴AC∥EK．
∵点E是线段AB的中点，
∴K为BC的中点，
∴EK是△ACB的中位线，
∴EK= AC=2，CK= BC=2，
∴E（t+2，2）．
∵点E在抛物线y1= x（x?t）上，
∴ （t+2）（t+2?t）=2，
解得t=2．
（3）如图2， ，则 x=ax（x?t），
解得x= +4，或x=0（不合题意，舍去）．．
故点D的横坐标是 +t．
当x= +t时，y2?y1=0，由题意得t+4= +t，
解得a= （t＞0）．
点评：本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．


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