2013年高三数学二模文科试卷（房山区带答案）

数 学 （文科）
本试卷共4页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
一、：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.若?p∨q是假命题，则
A. p∧q是假命题B. p∨q是假命题
C. p是假命题D. ?q是假命题
2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是
A.
B.
3.为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上
A. 所有点向右平移 个单位长度
B. 所有点向下平移 个单位长度
C. 所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）
D. 所有点的纵坐标缩短到原来的 （横坐标不变）
4.设平面向量 ，若 // ，则 等于
A.
D.
5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点
A.都在函数 的图象上
B.都在函数 的图象上
C.都在函数 的图象上
D.都在函数 的图象上
6.已知 是不等式组 所表示的平面区域内的两个不同的点，则 的
最大值是
A.
B.
C.
D.
7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体
的表面积为
A．
B.
C.
D.
8.定义运算 ，称 为将点 映到点 的
一次变换.若 ＝ 把直线 上的各点映到这点本身，而把直线
上的各点映到这点关于原点对称的点.则 的值分别是
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面内，复数 对应的点的坐标为 .
10.已知角A为三角形的一个内角，且 ，则 ， .
11.数列 是公差不为0的等差数列， ，且 是 的等比中项，则数列 的通
项公式 .
12.实数 满足 ，则 的最大值为 .
13.抛物线 的焦点坐标为 ，则抛物线 的方程为 ，若点 在抛物线
上运动，点 在直线 上运动，则 的最小值等于 .
14.对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的
导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若 ，则该函数的对称中心为 ，计算 .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数 的最小正周期为 ，且图象过点 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，求函数 的单调递增区间.
16.（本小题满分14分）
如图, 是正方形， 平面 ，
， .
(Ⅰ) 求证： 平面 ；
(Ⅱ) 求证： 平面 ；
(Ⅲ) 求四面体 的体积.
17.（本小题满分13分）
一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字 ，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字 ．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为 ，正四面体的三个侧面上的数字之和为 ．
（Ⅰ）求事件 的概率；
（Ⅱ）求事件“点 满足 ”的概率．
18.（本小题满分13分）
已知函数 在 处取得极值.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 在 上的最小值；
（Ⅲ）求证：对任意 ，都有 .
19.（本小题满分14分）
已知椭圆 （ ）的焦点坐标为 ，离心率为 ．直线 交椭圆于 ， 两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在实数 ，使得以 为直径的圆过点 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分13分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ，其中 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）设数列 满足 ， 为 的前 项和，试比较 与
的大小，并说明理由．
房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案
数 学 （文科） 2013.05
一、：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A 2D 3B 4D 5C 6B 7A 8B
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15（本小题满分13分）
（Ⅰ）由最小正周期为 可知 ， ………………2分
由 得 ，
又 ，
所以 ， ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
所以
…………………………………………………………………9分
解
得 ……………………………12分
所以函数 的单调增区间为 .
…………………………………………………13分
16（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明：因为 平面 ，
所以 . …………………1分
因为 是正方形，
所以 ， …………………2分
因为 …………………3分
所以 平面 . …………………4分
(Ⅱ)证明：设 ，取 中点 ，连结 ，
所以， . …………………5分
因为 ， ，所以 ， …………………6分
从而四边形 是平行四边形， . ………………7分
因为 平面 , 平面 , …………………8分
所以 平面 ，即 平面 . ……………………9分
（Ⅲ）解：因为 平面
所以
因为正方形 中， ,
所以 平面 . …………………11分
因为 , ，
所以 的面积为 ，
所以四面体 的体积 . ……………14分
17（本小题满分13分）
（Ⅰ）由题可知 的取值为 ， 的取值为
基本事件空间：
共计24个基本事件 ……………………3分
满足 的有 共2个基本事件
所以事件 的概率为 ……………………7分
（Ⅱ）设事件B=“点（a,b）满足 ”
当 时， 满足
当 时， 满足
当 时， 满足
所以满足 的有 ，
所以
18（本小题满分13分）
（Ⅰ） ……………1分
由已知得 即 ……………2分
解得： …………………………3分
当 时，在 处函数 取得极小值，所以
（Ⅱ） ， .
减
增
所以函数 在 递减，在 递增. ……………………4分
当 时， 在 单调递增， .
………………………5分
当 时，
在 单调递减，在 单调递增， .
…………………………6分
当 时， ，
在 单调递减，
…………………………7分
综上 在 上的最小值
………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 ， .
令 得
因为
所以 ……………11分
所以，对任意 ，都有
………………………………………13分
19（本小题满分14分）
（Ⅰ）由 ， ， 得 ， ，
所以椭圆方程是： ……………………4分
（Ⅱ）设 ， 则 ，
将 代入 ，整理得 （*）
则 ………………………7分
以PQ为直径的圆过 ，则 ，即
． ………………………………12分
解得 ，此时（*）方程 ，
所以 存在 ，使得以 为直径的圆过点 ． ……14分
20（本小题满分13分）
（Ⅰ）由于 ， ………………2分
（Ⅱ）由已知可知 ，故 ．
因为 ，所以 ． ………………4分
于是 ， ，
所以 ． ………………6分
（Ⅲ） …………………………………………7分
要比较 与 的大小，只需比较 的大小
由 ，得 ，
故 ． …………………………………………8分
从而 ．
因此
设 ，
则 ，
故 ，
又 ，所以 ．
所以对于任意 都有 ，
从而 ．


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