2013年高三文科数学一模试卷(东城区含答案)

数学（文科） 2013.4
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集 ，集合 ，那么集合 为
（A） （B） （C） （D）
（2） “ ”是“直线 与直线 平行”的
（A） 充分不必要条件 　（B） 必要不充分条件
（C） 充要条件 　　　　　（D） 既不充分也不必要条件
（3）已知 为平行四边形，若向量 ， ，则向量 为
（A） （B）
（C） （D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ，
则判断框内应填入的条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 那么这个几何体的侧面积是
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知点 ，抛物线 的焦点是 ，若抛物线上存在一点 ，使得 最小，则 点的坐标为
（A） （B） （C） （D）
（7）对于函数 ，部分 与 的对应关系如下表：
123456789
745813526
数列 满足 ，且对任意 ，点 都在函数 的图象上，则 的值为
（A）9394 （B）9380 （C）9396 （D）9400
（8）已知定义在 上的函数 的对称轴为 ，且当 时， .若函数 在区间 （ ）上有零点，则 的值为
（A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或
第Ⅱ卷（共110分）
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知 是虚数单位，那么 等于 ．
（10）如图是甲、乙两名同学进入高中以来 次体育测试成绩
的茎叶图，则甲 次测试成绩的平均数是 ，乙 次测试成
绩的平均数与中位数之差是 ．
（11）不等式组 表示的平面区域为 ，则区域 的面积为 ， 的最大值为 ．
（12）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为 ．
（13）函数 的图象为 ，有如下结论：①图象 关于直线 对称；②图象 关于点 对称；③函数 在区间 内是增函数，其中正确的结论序号是 ．(写出所有正确结论的序号)
（14）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一
行增加两项，若 ， 则位于第10行的第8列的项
等于 ， 在图中位于 ．（填第几行的第几列）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
在△ 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值．
（16）（本小题共14分）
如图，已知 平面 ， 平面 ， 为 的中点，若
．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ．
（17）（本小题共13分）
为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：
优秀良好合格
男生人数
380373
女生人数
370377
（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？
（Ⅱ）若 ， ，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．
（18）（本小题共14分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）讨论 的单调性；
（III）若 存在最大值 ，且 ，求 的取值范围．
（19）（本小题共13分）
已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 ， ，离心率为 ，且过点 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ） ， ， ， 是椭圆 上的四个不同的点，两条都不和 轴垂直的直线 和 分别过点 ， ，且这两条直线互相垂直，求证： 为定值.
（20）（本小题共13分）
设 是由 个有序实数构成的一个数组，记作： .其中 称为数组 的“元”， 称为 的下标. 如果数组 中的每个“元”都是来自 数组 中不同下标的“元”，则称 为 的子数组. 定义两个数组 ， 的关系数为 .
（Ⅰ）若 ， ，设 是 的含有两个“元”的子数组，求 的最大值；
（Ⅱ）若 ， ，且 ， 为 的含有三个“元”的子数组，求 的最大值.
北京市东城区2014-2013学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案（文科）
一、（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A
（5）C （6）D （7）A （8）A
二、题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10） （11） ，
（12） （13）①②③ （14） 第 行的第 列
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 ，
由正弦定理可得 ，
因为在△ 中， ，
所以 .
又 ，
所以 .
（Ⅱ）由余弦定理 ，
因为 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
当且仅当 时， 取得最大值 .
（16）（共14分）
证明：（Ⅰ）取 的中点 ，连结 ， .
因为 是 的中点，
则 为△ 的中位线．
所以 ， ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
所以四边形 为平行四边形．
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）因为 ， 为 的中点，
所以 ．
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，
所以 ．
因为 ，
所以 平面 ．
因为 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，
所以平面 平面 ．
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为：
．
因为 ，
故在优秀等级的学生中应抽取 份．
（Ⅱ）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件 ．
因为 ， ， ，且 ， 为正整数，
所以数组 的可能取值为：
， ， ，…， ，共 个．
其中满足 的数组 的所有可能取值为：
， ， ， ， 共5个，即事件 包含的基本事件数为 ．
所以 ．
故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为 ．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）当 时， ．
．
所以 ．
又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 ．
（Ⅱ）函数 的定义域为 ，
．
当 时，由 知 恒成立，
此时 在区间 上单调递减．
当 时，由 知 恒成立，
此时 在区间 上单调递增．
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
此时 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减．
（III）由（Ⅱ）知函数 的定义域为 ，
当 或 时， 在区间 上单调，此时函数 无最大值．
当 时， 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，
所以当 时函数 有最大值．
最大值 ．
因为 ，所以有 ，解之得 ．
所以 的取值范围是 ．
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：由已知 ，
所以 .
所以 .
所以 ： ，即 .
因为椭圆 过点 ，
得 ， .
所以椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆 的焦点坐标为 ， .
根据题意， 可设直线 的方程为 ，
由于直线 与直线 互相垂直，则直线 的方程为 .
设 ， .
由方程组 消 得
.
则 .
所以 = .
同理可得 .
所以 .
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）依据题意，当 时， 取得最大值为2．
（Ⅱ）①当 是 中的“元”时，由于 的三个“元”都相等，及 中 三个“元”的对称性，可以只计算 的最大值，其中 ．
由 ，
得 ．
当且仅当 ，且 时， 达到最大值 ，
于是 ．
②当 不是 中的“元”时，计算 的最大值，
由于 ，
所以 ．
，
当且仅当 时，等号成立．


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