由正难则反切入

人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决．但有些数学问题，若直接从正面求解，则思维较易受阻，而“正难则反，顺难则逆，直难则曲”是突破思维障碍的重要 策略．
数学中存在着大量的正难则反的切入点．数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双向的，具有可逆性；对数学方法而言，特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎，其思考方向也是可逆的；作为解题策略，当正向思考困难时可逆向思考，直接证明受阻时可间接证明，探索可能性失败时转向考察不可能性．由正难则反切入的具体途径有：
1．定义、公式、法则的逆用；
2．常量与变量的换位；
3．反客为主；
4．反证法等．
【例题求解】
【例1】 已知 满足 ，那么 的值为 ．
(河南省竞赛题)
思路点拨 视 为整 体，避免解高次方程求 的值．

【例2】 已知实数 、 、 满足 ，且 求 的值．
(第四届《学习报》公开赛试题)
思路点拨 显然求 、 、 的值或寻求 、 、 的关系是困难的，令 ，则2002= ，原等式就可变形为关于 的一元二次 方程，运用根与系数关系求解．

注：（1）人们 总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量，认为它们泾渭分明，更换不得，实际上将常量设为变量，或将变量暂时看作常 量，都会给人以有益的启示．
（2） 人的思维活动既有“求同”和“定势”的方面，又有“求异”和“变通”的方面．求同与求异，定势与变通是人的思维个性的两极，充分利用知识和方法的双向性，是培养思维能力的重要途径．
正难则反在具体的解题中，还表现为下列各种形式：
(1)不通分母通分子；
(2)不求局部求整体；
(3)不先开方先平方；
(4)不用直接挖隐含；
(5)不算相等算不等；
(6)不求动态求静态等．
【例3】 设 、 、 为非零实数，且 ， ， ，试问： 、 、 满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根．
思路点拨 如从正面考虑，条件“三个方程中至少有一个方程有不等的实数根”所涉及的情况比较复杂，但从其反面考虑情况却十分简单，只有一种可能，即三个方程都没 有实数根，然后从全体实数中排除三个方程都无实数根的 、 、 的取值即可．

注：受思维定势的消极影响，人 们在解决有几个变量的问题时，总抓住主元不放，使有些问题的解决较为复杂，此时若变换主元，反客为主，问题常常能获得简解．
【例4】 已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°?请证明你的结论． (江苏省竞赛题)
思路点拨 结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，则说明结论是否定的；若推不 出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的．

【例5】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．
(北京市竞赛题)
思路点拨 先假设存在正整数 ， ， ， 满足 ( ， =1，2，3，4，m为正整数)．运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综合推理，若推出矛盾，则原假设不成立．

注：反证法是从待证命题的结论的反面出发，进行推理，通过导出矛盾来判断待证命题成立的方法，其证明的基本步骤是：否定待证命题的结论、推理导出矛盾、肯定原命题的结论．
宜用反证法的三题特征是：
(1)结论涉及无限；
(2)结论涉及唯一性；
(3)结论为否定形式；
(4)结论涉及“至多，至少”；
(5)结论以疑问形式出现等．
学力训练
1．由小到大排列各分数： ， ， ， ， ， 是 ．
2．分解因式 = ．
3．解关于 的方程： ( ≥ )得 = ．
4． 的结果是 ．
5．若关于 的三个方程， ， ， 中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 ．
6．有 甲、乙两堆小球，如果第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，第二 次从乙堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆，如此挪动4次后，甲、乙两堆小球恰好都是16个，那么，甲、乙两堆最初各有 多少个小球?
(重庆市竞赛题)
7．求这样的正整数 ，使得方程 至少有一个整数解．
(上海市竞赛题)
8．某班参加运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的3名运动员，他们运动服号码之和不小于32，请说明理由．
9．如正整数 和 之和是 ，则 可变为 ，问能不能用这种方法数次，将22 变成2001？
(世界城际间数学联赛题)
10．证明：如果整系数二次方程 a ( )有有理根，那么 ， ， 中至少有一个是偶数．


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