初一下册数学第五章生活中的轴对称学案

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5.1 轴对称现象（P115-117页）
评价：
【学习目标】：1、理解轴对称图形和成轴对称的图形的意义，能够识别这些图形并能指出它们的对称轴；
2、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值。
【主要问题】：什么是轴对称图形？什么是成轴对称图形？
一、知识回顾：
1、全等图形是指： .
2、如图(1)，AC平分∠DAE，且AD = AE，B为AC上一点，求证：△CBD≌△CBE.

3、如图(2)， AO平分∠EAD和∠EOD.求证：① △AOE≌△AOD ；②EB=DC


二、新知识产生过程
问题1：什么是轴对称图形? 请课本P115页
1、观察下列几组图片和图形，它们有什么共同特点？

由此发现，如果 平面图形沿一条 折叠后，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫做 .这条直线叫做 .
2、课本P115 议一议
观察下列图形，哪些图形是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出它的对称轴.

理解轴对称图形应注意三点：（1）轴对称图形是一个图形；（2）对折；（3）重合。

3、课本P115 做一做
将一张纸对折后，用笔尖扎出如图所示的图形，
然后将纸打开铺平，你会得到什么图形？你还
能用这样的方法得到其它的轴对称图形吗？

问题2：什么是成轴对称图形？
4、观察下列图案，你发现了什么？下面的每一组图案是由 个图形组成的.

由此发现，如果 平面图形沿一条 对折后能够 ，那么称 ，这条直线叫做这两个图形的 .
5、轴对称图形与两个图形成轴对称的关系
共同点不同点
轴对称图形
两个图形成轴对称
注意：对于平面图形，当把直线（对称轴）两旁的部分看成一个图形时，它便是 图形。
当把直线（对称轴）两旁的部分看成两个图形时，它便是两个图形成 ，
两者并非能够严格的区分.
三、巩固练习：
6、下列平面图形中，不是轴对称图形的是： （ ）.

7、（1）请完成下表：
图形


……
名称
对称轴条数
（2）请你就正n 边形的对称轴条数做一个猜想

5.2 探索轴对称的性质（P118-119页）
评价：
【学习目标】：1、经历探索轴对称性质的过程，积累数学活动经验，发展空间观念；
2、理解轴对称的性质；
【主要问题】：轴对称图形和两个图形成轴对称有哪些性质？
一、基础知识回顾
1、：
（1）轴对称图形只有一条对称轴（ ） （2）轴对称图形的对称轴是一条线段（ ）
（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形（ ）
（4）轴对称图形指两个图形（ ）
2．下面图形是轴对称图形的有（ ）
A．角 B．线段 C．太极图 E．等腰三角形
D．香港特别行政区区旗上的紫荆花 F．五角星
3、

二、新知识产生过程
问题1：两个图形成轴对称有哪些性质? 请课本P118页
4、如图（1），将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数学，将纸打开后铺平.

（1）在上图中，两个“14”有什么关系？ ；
（2）在上面扎字的过程中，点E与点 重合，点F与点 重合 (互相重合的点叫对应点)
设折痕所在直线为 ,连接点E和点 的线段与直线 有什么关系？
连接点F和点 的线段与直线 有什么关系？
(线段 和线段 叫做对应点所连的线段)
（3）线段AB与线段 有什么关系？ ；线段CD与线段 呢？ .理由是 .
（4） 与 有什么关系？ ； 与 呢？ ；
理由是 .
问题2：轴对称图形有哪些性质? 请阅读课本P118页
5、如图（2）的轴对称图形，回答下列问题：
（1）请在图中画出它的对称轴；
（2）连接点 和点 ，线段 与对称轴有什么关系？
.
连接点 和 ，线段 与对称轴有什么关系？
.
理由是： .
（3）线段AD与线段 有什么关系？ ；线段BC与线段 呢？ .
理由是： .
（4） 与 有什么关系？ ； 与 呢？ ；
理由是： .
相关名词：在图（2）中，沿对称轴对折后，点 与点 重合，称点 关于对称轴的 是点 .类似地，线段AD关于对称轴的 是线段 ； 关于对称轴的 是 .
6、归纳总结：由第1题、第2题可以得出：在轴对称图形或两个成轴对称图形中，
① ；② ；③ .
三、巩固练习：
7、课本P119 做一做：
图（3）是一个图案的一半，其中的虚线是
这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半
8、如图（4）是轴对称图形，则相等的线段
有 ，相等的角是
9．轴对称图形沿对称轴对折后，对称轴两旁的部分( )
A．完全重合B．不完全重合 C．两者都有
10. 如图(5)，△ABC与△A′B′C′关于直线 对称，
则∠B的度数为 。

四、提高题：
11、如图（6），△ABC与△DEF关于直线l成轴对称
①请写出其中相等的线段；
②如果△ABC的面积为6cm,且DE=3cm，求△ABC中AB边上的高h。

5.3 简单的轴对称图形（1）（P121-122页）
评价：
【学习目标】：1、经历探索等腰三角形的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，发展空间观念；
2、探索并了解等腰三角形的轴对称性及其相关性质；
【主要问题】：等腰三角形有哪些性质？等边三角形有哪些性质？
一、基础知识回顾
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ）A、圆 B、长方形 C、线段 D、三角形
2、以下结论正确的是（ ）．
A．两个全等的图形一定成轴对称 B．两个全等的图形一定是轴对称图形
C．两个成轴对称的图形一定全等 D．两个成轴对称的图形一定不全等
3、轴对称图形对应点连线被 ，对应角对应线段都 ．
4、设A、B两点关于直线MN成轴对称，则 垂直平分 ．
5、三角形的周长等于 ，三角形的内角和是 .
6、怎样的三角形是轴对称图形？答： 。
7、如图(1)， △ABC中，AB=AC,请在图中标出此三角形各边和各角的名称。
二、新知识产生过程
问题1：等腰三角形有哪些性质?请阅读课本P121
8.等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请在图（2）中画出它的对称轴.
你是如何找到等腰三角形的对称轴的? .
等腰三角形的对称轴是什么？ .
A.顶角的平分线所在的直线 B.底角的平分线所在的直线
C.底边上的高所在的直线 D.底边上的中线所在的直线
9.当你把等腰三角形沿它的对称轴对折后，你能发现等腰三角形有哪些特征？
把△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表(如图（3）)

（关键操作：对折、重合）
10.归纳等腰三角形的性质：
性质1 .
性质2

性质3 .

11、根据等腰三角形性质定理，如图（4），在△ABC中， AB=AC时，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____， = .
(2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
12、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为 .
问题2：等边三角形的哪些性质？
13、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是 三角形，
即 叫等边三角形。
14、等边三角形是轴对称图形吗？
如果是，请你在图（5）画出等边三角形的对称轴
你能画出几条对称轴？ .
15、当你把等边三角形沿它的对称轴对折后，
你能发现等边三角形有哪些特征？

16、归纳等边三角形性质：
性质1：等边三角形是 图形，它有 条对称轴.
性质2：等边三角形 相等.
17、课本P121 “议一议”：你有哪些办法可以等到一个等腰三角形？（课堂上小组交流）

三、巩固练习：
18、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
19、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为 ；等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为
20、如图（6），在△ABC中，AB=AC，∠B=70度，点D为BC的中点，
求∠BAD的度数.

20、如图（7），△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.

四、提高题：
21、如图(8)所示，在△ABC中，AB=AB，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足
分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．
5.3 简单的轴对称图形（2）（P123-124页）
评价：
【学习目标】：1.经历探索线段轴对称性过程，进一步理解轴对称的性质，发展空间观念；
2.掌握线段垂直平分线的性质；
3.掌握用尺规作线段的垂直平分线；
【主要问题】：线段的对称轴是什么？线段的垂直平分线的性质是什么？
如何用尺规作出线段的对称轴？
一、基础知识回顾
1、等腰三角形 、 和 互相重合.
2、如图（1）所示， ，BD=5cm，则BC= .
3、已知等腰三角形一个角75度，那么其余两个角的度数为 .
4、一个等腰三角形的周长为35cm，腰长是底边的2倍，则腰长为 ，底边长为 .
5、线段的中点是指： .
6、三角形的重心是指： .
二、新知识产生过程
问题1：线段的对称轴是什么?请阅读课本P123
7.线段是轴对称图形吗？如果是，请在图（2）中画出它的对称轴.
你是如何找到线段的对称轴的? .
8.线段的对称轴与线段存在着什么关系？ .
9.归纳结论：线段是 图形， 是线段的一条对称轴.
10、线段的垂直平分线（简称中垂线）是指： .
问题2：线段的垂直平分线的性质？
11、课本P123 “议一议” （如图（3），沿OC对折后，AC与BC重合吗？）
（1）如图（3），点C是线段AB的垂直平分线上的一点，AC和BC相等吗？
理由是：

（2）改变点C的位置，以上结论还成立吗？
答：
12.归纳线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点 .
几何语言：如图（4）
OA=OB，
点C是OM上的一点
∴ = .
注意：这个结论是经常用来说明两条线段相等的依据之一

问题3：如何用尺规作线段的垂直平分线？
13、课本P124 例 1：利用尺规，作线段AB的垂直平分线(图5)
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
作法：1.分别以 和 为圆心，以 的长为半径作弧，
两弧相交于 和 ；
2.作 .
就是线段AB的垂直平分线.
14、为什么第13题这样就能作出线段的垂直平分呢？其中的道理是什么？

15、课本P124 做一做 利用尺规作 16、利用尺规作如图(7)所示的
如图(6)所示的△ABC的重心. △ABC的三边中线

三、巩固练习：
17.在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE=6，则△BCE的周长是 ．

18.如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.
19. 如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.
20.如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是 cm。
四、提高题：
21、如图所示，点A、点B和点C三点表示三个工厂，
现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请
在图中标出供水站的位置P，请给予说明理由。
5.3 简单的轴对称图形（3）（P125-126页）
评价：
【学习目标】：1、经历探索角的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质发展空间观念；
2、掌握角平分线的性质；
3、掌握用尺规作角的平分线；
【主要问题】：角的对称轴是什么？角的平分线的性质是什么？
如何用尺规作出线段的对称轴？
一、基础知识回顾
1、如图（1）所示，在 中，AC边的中垂线交BC于点D，垂足为E，则相等的线段有 ，相等的角有 .
2、如图（2），在 中， ， ，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则图中等于 的角有 个，分别是： .
3、如图（3），在 中，AB=AC, ，AB的垂直平分线
交AC于点N，则 .
4、角平分线是指：

.
二、新知识产生过程
问题1：角的对称轴是什么?请阅读课本P125
5.角是轴对称图形吗？如果是，请在图（4）中画出它的对称轴.
你是如何找到角的对称轴的? .
6、归纳结论：角是 图形， 是角的一条对称轴.
问题2：角平分线的性质？
7、课本P125“做一做”
（1）如图（5），将角对折，使角的两边重合折痕就是 的平分线；
（2）在 的角平分线上任意取一点C,分别折出过点C且与
的两边垂直的线（这一步如何折？），垂足分别为点D和点E，将
再次对折，线段CD和 CE能重合吗？
答： （“能”或“不能”）重合.
理由是：

（3）改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗？
答：

8.归纳角平分线的性质：
.
几何语言：如图（6）
， ,
∴ = .
问题3：如何用尺规作角平分线？
9、课本P126 例 2：利用尺规，作 的平分线(图7)
已知： .
求作：射线OC,使 = .
作法：1.在 和 上分别截取 、 ，使 = .
2.分别以 和 为圆心，以 为半径作弧，
两弧在 内交于点 .
3、作 .
就是 平分线.
10、为什么第9题这样就能作出角的平分呢？其中的道理是什么？

三、巩固练习：
11、课本P126 做一做：如图（8）所示，在 中，BD是 的平分线， ，垂足为E.DE与DC相等吗？为什么？

12、如图（9）所示，在△ABC中, ∠C=900,AD平分∠CAB,
且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？

13、已知 ，求作三个内角的平分线（如图（10））.

四、提高题：
一、如图（11），某铁路MN与公路PQ相交于点O且交角为90度，
某仓库G在A区且到公路、铁路距离相离，仓库G到公路与铁路
的相交点O的距离为200m.（1）在图中标出仓库G的位置（比例
尺1：10000.保留作图痕迹）；（2）求出仓库G到的实际距离.

5.4 利用轴对称进行设计（P128-129页）
评价：
【学习目标】：1、进一步理解轴对称及其性质，积累数学活动经验，发展空间观念；
2、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值；
【主要问题】：如何利用轴对称进行图案的设计？
（1）基础知识回顾：
1、下列说法中正确的是（ ）
（A）角是轴对称图形，它的平分线就 是对称轴
（B）等腰三角形的内角的平分线,中线和高三线合一
（C）直角三角形不是轴对称图形 （D）等边三角形有三条对称轴
2、等腰三角形的一个角为100°，则它的底角为（ ）
A.100° B.40° C.100°或40° D.不能确定
3、如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求ΔABD的周长.

二、新知识产生过程：
4、下列图案你在生活中见到吗？它们是轴对称图形吗?如果是，请画出它们的对称轴.

5、阅读课本P128“做一做”第1题.
如果先把纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后在上面画上其他图案，会得到怎样的花边，先猜一猜，再做一做，把你得到的花边贴下来.

归纳：在“手风琴”式的折纸中，纸上的折痕是 ，折痕所在的直线的位置关系是 ，而且相邻两条折痕的距离 .
6、阅读课本P128“做一做”第2题.

（1）经过步骤?和步骤?后，在这张正形纸上留下什么样折痕？请在图（1）中画出来.
（2）经过步骤?得到怎样的图案？
（把剪下来的图案贴在下面指定的框内）
（3）将正方形纸按上面方式对折3次，然后沿圆弧剪开（如图（2）），去掉较小的部分，展开后得到怎样的图案？ .把图案贴下来.
将正方形纸对折3次后，在纸上留下什么样的折痕，在图（3）中画出.

归纳：在这种对角折纸中，若纸上留下的折痕有n条，那么剪下来的图案至少 条对称轴.
三、巩固练习
7、利用一条线段，一个圆，一个正三角形设计一个轴对称图案，并阐明设计意图。

8、下图是由四个小正方形组成
的L形图案，请你再添加一个
小正方形使它们能组成一个轴
对称图形。(给出三种不同的作法)

9、如图甲，正方形被分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；（2）涂黑部分成轴对称图形.（在所设计的图案中，若涂黑的部分全等则视为同一种涂法，如图乙和图丙属同一种涂法）.

第5章 回顾与思考
评价：
学习目标：
1、能梳理本章的知识结构。
2、利用本章的知识解决问题。
一、知识结构回顾
本章所学的内容如下：（请你用一个框架图来进行知识梳理，并与同学交流）
二、回顾练习
1、等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是 (　　)
A．9cmB．12cm
C．9cm和12cmD．在9cm与12cm之间
2、观察图7—108中的汽车商标，其中是轴对称图形的个数为 (　　)

A.2 B.3 C.4 D.5
3、对于下列命题：(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；(4)如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
4、下列图形中，不是轴对称图形的是 (　　)
A．互相垂直的两条直线构成的图形 B．一条直线和直线外一点构成的图形
C．有一个内角为30°，另一个内角为120°的三角形 D．有一个内角为60°的三角形
5、下列说法中，不正确的是 (　　)
A．等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线 B．等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分 C．一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 D．两个三角形能够重合，它们一定是轴对称的
6、在等腰△ABC中，AB＝AC，O为不同于A的一点，且OB＝OC，则直线AO与底边BC的关系为 (　　)
A．平行B．垂直且平分
C．斜交D．垂直不平分
7、△ABC中，AB＝AC，点D与顶点A在直线BC同侧，且BD＝AD．则BD与CD的大小关系为 (　　)
A．BD＞CD B．BD＝CD C．BD＜CDD．BD与CD大小关系无法确定
8、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，则∠B＝ 度．
9、等腰三角形的一个角为50°，则顶角是 度．
10、已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于 ．
11、如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC＝ .
12、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝ .

13、如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE＝CE

14、完成课文131—134页复习题。(各班根据实际情况灵活处理课本题)

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