平面的基本性质与推论检测考试题（附答案）

1.2.1 平面的基本性质与推论 优化训练
1．下列命题：
①公理1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；
②四边形的两条对角线必相交于一点；
③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面边界线；
④梯形是平面图形．
其中，正确的命题个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
解析：选A.①中应为l?α；②中空间四边形对角线异面；③中平面没有界线．
2．空间中可以确定一个平面的条件是(　　)
A．两条直线 B．一点和一直线
C．一个三角形 D．三个点
答案：C
3．点M在直线a上，直线a在平面α内，可记为(　　)
A．M?a?α B．M∈a?α
C．M∈a∈α D．M?a∈α
答案：B
4．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面的个数是________．
答案：1个或3个
5．假设一块木板斜立在地面上，当用一根木棒在后面撑住时，能使板面固定，这个道理是________．
答案：过直线和直线外一点有且只有一个平面
1．如图，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，且C?l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)
A．直线AC
B．直线BC
C．直线AB
D．直线CD
解析：选D.由题意知平面ABC与平面β有公共点C，根据基本性质3，这两平面必定相交，有且只有一条经过点C的交线．由于两点确定一条直线，所以只要再找到两平面的另一个公共点即可．显然点D在直线AB上，从而它在平面ABC内；而D在直线l上，所以它又在平面β内，这样D也是平面ABC与平面β的公共点．因此平面ABC与平面β的交线是直线CD.
2．如图所示，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱共有(　　)
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
解析：选B.依据异面直线的判定定理找与AA1异面的棱．∵AA1在面A1ABB1内，B1在面A1ABB1内，C1不在面A1ABB1内，∴C1B1是与AA1异面的棱．同理，BC，CD，C1D1都是与AA1异面的棱，故正确答案为B.
3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是(　　)
解析：选C.选项A、B中RS与PQ平行；选项D中RS与PQ的延长线相交，选项C中的PQ与下底面平行，它与下底面中的RS不平行，不相交．
4．空间三条不重合的直线a、b、c能确定的平面的个数是(　　)
A．0,1或2 B．0,2或3
C．1,2或3 D．0,1,2或3
解析：选D.若a、b、c两两异面，不能确定平面，为0个；若三线共面，为1个；若其中两条是异面直线，第3条与它们都相交，确定2个平面；若两两平行不共面，或三线交于一点且不共面，则确定3个平面．
5．下列四种叙述：
①空间四点共面，则其中必有三点共线；
②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；
③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．
其中正确说法的序号是(　　)
A．②③④ B．②③
C．①②③ D．①③
解析：选B.四棱柱中每个面都有四个点，但这四个点中没有三点是共线的，所以①错；对于④，三点不共线但四点可以共面．
6．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成(　　)
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
解析：选C.作出这三个平面的截面，如图所示，把空间分为7部分，本题考查了学生的空间想象能力．顺利作出截面是解决本题的关键，其中l1，l2，l3是截线．
7．已知点A，直线a，平面α.
①A∈a，a∈α?A∈α；②A?a，a?α?A?α；③A∈a，a?α?A?α.
以上命题正确的个数为________．
解析：①中“a∈α”符号不对；②中A可以在α内，也可以在α外，故不正确；③中“A?α”符号不对．
答案：0
8．空间2条直线，最多确定1个平面，空间3条直线最多确定3个平面，空间4条直线最多确定________个平面……空间n条直线，最多确定________个平面．
解析：2条直线最多确定1＝2×12个平面；3条最多确定3＝3×22个；4条最多确定4×32＝6个；…；猜想n条最多确定n?n－1?2个平面．
答案：6　n?n－1?2
9．如图是正方体或正四面体，其中P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．
解析：题图①，③中的PS∥QR，所以P，Q，R，S共面，而题图②，④中的PS与QR是异面直线，所以这四个点不共面．
答案：①③
10．用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)点A在直线l上，点B不在直线l上；
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α有且只有一个公共点M；
(3)平面α与平面β相交于过点A的直线l.
解：(1)符号：A∈l，B?l，如图①所示．
(2)符号：l?α，m∩α＝M，如图②所示．
(3)符号：α∩β＝l，A∈l，如图③所示．
11. 如图所示，已知直线a与b不共面，直线c∩a＝M，直线b∩c＝N.又a∩平面α＝A，b∩平面α＝B，c∩平面α＝C，求证A，B，C三点不共线．
证明：假设A，B，C三点共线，设都在直线l上．
∵A，B，C∈α，∴l?α，c∩l＝C，
∴c与l可确定一个平面β.
∵c∩a＝M，∴M∈β.又A∈β，
∴a?β，同理可证b?β.
∴直线a，b共面，
这与已知a与b不共面矛盾，
∴A，B，C三点不共线．
12．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．
已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求证：直线AB、BC、AC共面．
证明：法一：∵AC∩AB＝A，
∴直线AB、AC确定一个平面α.
∵B∈AB，C∈AC，∴B∈α，C∈α.
故BC?α.
因此直线AB、BC、CA都在平面α内，
∴AB、BC、AC共面．
法二：∵A、B、C三点不在一条直线上，
∴过A、B、C三点可以确定平面α.
∵A∈α，B∈α，∴AB?α，
同理，BC?α，AC?α，
∴AB、BC、AC共面．


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