逍遥学能 2017-03-10 13:06
数学解题在数学教学过程中占重要地位，是实现教育教学目的不可缺少的手段，通过解题活动获取知识，培养良好的思维品质，不断提高数学逻辑思维能力，从而进一步培养解决问题的能力；可是，在解答数学问题的过程中，可能是成功的发现，也可能是失败的尝试，需要去伪存真，经受解题实践的检验，如果某种探索被否定了，还可根据题目的实际情况对解题策略进行调控，修正解题途径，甚至重新构思解题方案；平时教育学生学习知识要知其然，更要知其所以然，但在学生的解题过程中笔者认为，此时教师应做的是让学生知其所以错，如何去纠正错误，将“纠错”这一环节充分地融入到教学过程中去，即“错解”教学法。在“错解”教学法过程中，能较全面地使学生理解和掌握知识，更好地把握问题实质，纠正学生平时做题的一些习惯性错误；可以使学生在原有认识的基础上来一次再认识，从另一侧面加深对知识的理解和运用，增强和提高学生能力。本文结合教学实践谈谈“错解”教学法对培养学生能力的一点粗浅体会。
一、培养分析问题的能力
例1.一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低p%，写出成本随年数变化的函数关系式。
通过学生思考、演练、发现有如下几种解答情形：
(1)设m年后的产量为y，则y=a(1-p%)m
(2)设第m年的产量为y，则y=a(1-p%)m
(3)设第x年产量为y，则y=a(1-p%)x()
分析：对解法(1)，题意理解不清，实际需写m年内的任某一年的函数关系，而假设是指m年后的产量，与题意不符。对解法(2)，①题设中m为某一确定常数，而假设中m为变量；②、式y=a(1-p%)m中m为自变量，由题意知m≤m(今后m年内)，定义域不知为何；③、显然，自变量知m可取无限个数，这与现实不符，因计划只能定义在有限多少年内。对解法(3)，有如下推导：原来的年产量为a，则第一年产量为y1=a(1-p%)、第二年产量为y2=a(1-p%)2…、第n年产量yn=a(1-p%)n,它构成一个等比数列，首项为y1=a(1-p%),公比为q=1-p%,由此可得函数关系式为y=a(1-p%)x()。
反思：造成上述解法错误或不完整的原因
(1)指数m与m年内两概念混淆；前m指自变量，后m指某一确定常数。
(2)不知建模或不知如何建模，仅凭感觉。
(3)对题意理解不透，没有探索只是相当然。
(4)对函数概念本质不甚理解。
通过错解纠错，概念简述，弄清问题实质。
二、培养学生的发散思维能力
例2、已知函数，当x取何值时，函数有量小值并求出最小值。
作变形，得，稍作提示得到如下多种结果：
(1)设A(-2、-4)、B(3、-2)、P(X、0)，则y=|PA|+|PB|由图易知，且X=4/3
(2)设z1=(x+2)+4i、z2=(3-x)+2i，y=|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|5+6i|=,有最小值，此时x=4/3。
(3)设z1=(x+2)+4i，z2=(3-x)-2i，则y=|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|5+2i|=，即函数有最小值，此时x=8。
(4)设z1=(x+2)+4i，z2=（x-3）-2i，则y=|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|5+6i|=,此时x=4/3
(5)设z1=(x+2)+4i,z2=(x-3)+2i则y=|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|5+2i|=，此时x=8，
分析：明确肯定(1)正确，却对(2)、(3)、(4)、(5)、学生就感到惊讶，模棱两可，认为思路相同，方式一致，找不出存在的问题。
发散一：(一)(2)、(3)、(4)、(5)形式一致，本质是否相同？(二)(2)与(3)、(4)与(5)的假设略有不同，是否为问题的症结？(三)|z1|+|z2|≥|z1+z2|,|z1|+|z2|≥|z1-z2|中等号成立的条件各是什么？解法是否与其相符？学生恍然大悟，得出|z1|+|z2|≥|z1+z2|等号成立的条件是向量z1与z2共线且同向，即存在实数a>0使得z1=az2；|z1|+|z2|≥|z1-z2|等号成立的条件是向量z1与z2共线且反向，即存在实数a<0使得z1=az2。通过上述发散，思路已较为清晰，已能确定哪些解法正确。
发散二：假设中的复数本身的实部与虚部能否互换？到此，问题已充分支解，前途一片光明。
三、提高观察，创新思维能力。
教学过程中，不但要引导启发学生正面接受知识，解答问题，而且还要针对实际，结合学生认知的“漏洞”和思维的“盲区”，对学生易于出现的错误，及时展示给学生，让学生在讨论中探究错解出现的原因，从而做到调动学生学习的积极性，克服依赖性，从而提高学生的观察、创新思维能力。
例3、已知双曲线3x2-y2=3,过点P(1、1)能否作一直线L与所给的双曲线交于两点A、B，且使P恰好为线段AB的中点？
先让学生思考，最后启发提问，学生不难说出本题的两种解题思路，然后教师可展示出两种解法。
法一、设直线L的斜率为K，则直线L的方程为y-1=k(x-1),将其与双曲线方程联立，消去y得(3-k2)x2+(2k2-2k)x-(1-k)2-3=0,(x1+x2)/2=(k-k2)/(3-k2)=1,解得k=3
∴所求直线L的方程为y=3x-2
法二、设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有3x12-y12=33x22-y22=3
两式相减，得3(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0
又x1+x2=2,y1+y2=2
∴(y1-y2)(x1-x2)=3
∴kAB=3,从而得直线L的方程为y=3x-2
（师）：这两法都很好!它是处理直线和二次曲线相交弦有关问题的常规方法，法一巧妙地利用了韦达定理，法二通过分离斜率，简捷明快，但请大家注意观察这两种解法是否还存在缺陷呢？(学生演算或发表议论，有学生站起发表看法)
（生1）：所得直线y=3x-2与已知双曲线没有交点，所以所求不对。(教师以赞赏的表情给予肯定)
（生2）将x=1代入已知双曲线方程得y=0，即坐标为(1、0)的点在双曲线上，且为右顶点，所以点P(1、1)在双曲线的外部，所以以P为中点的弦不存在。
（师）：既然以P为中点的弦不存在，那为什么又确切地求出了直线L的方程呢？(学生议论)
（生3）：在解1中，得到的关于x的一元二次方程，还需考虑判别式△>0，从而得出K的范围，而K=3不在其范围之内；对于解法二，只是“设”而不求，不知A、B两点是否存在，应联立所得直线与双曲线方程，判断是否有交点。
（师）：同学们回答得很好!两种解法出错的根源在于忽视了题设的存在性，忽略了某些环节。那么点P与双曲线的位置关系如何时，才能存在所求直线？
（生4）：点P只有在双曲线内部时才存在所求直线。
（师）：大家想一想，这种方法还适用于直线与哪些二次曲线相交的问题(讨论)
（生5）：这种方法对圆、椭圆、抛物线都适用。(教师给予肯定)。
（师）：(总结)对存在性问题可先假设其存在，对直线二次曲线相交的中点弦问题一般均可“设”而不求，用分离斜率的方法或利用韦达定理求解，但要关注或验证假设的可靠性。从而从“错解”中寻求得出正确结论，此题通过验证或采用数形结合思想可知，这样的直线L不存在。
来源：233网校论文中心，作者：曾正云