高中数学立意于数学思想的教学

作者：何志平 李海东

　　

　　数学教学教什么?除教材知识外，更主要的是教给学生数学思想．数学思想是能铭记在学生头脑中起永恒作朋的观念和文化，是数学教学的终极目标，足体现数学教育价值和区别于其他学科教学的关键所在．新课改以米，人们多聚焦在教学方式的改革上，单一的接受式教学已不多见，探究、合作等教学方式使课堂耳目一新．但是，对数学思想的教学，似乎关注不多，以数学思想立意的教学并不多见．这在某种程度上模糊了数学教学的终极目标，数学教学的深刻性被淡化，数学教学存在的意义和价值被削弱，数学教学的育人功能、文化内涵流失．为了加强数学思想的教学，本文以“反比例函数的图象和性质”教学为例，就立意于数学思想的教学谈些粗浅的认识．

　　

　　一、内容分析。析出蕴涵的数学思想

　　

　　数学思想具有隐喻性的特点，它隐于知识内部，需要精心挖捌才能发现．数学思想的教学，首先需要从对教学内容的分析入手，析出其中蕴涵的数学思想．

　　

　　“反比例函数的图象和性质”蕴涵着数形结合、变化与对应、类比、转化、分类等丰富的数学思想．

　　

　　第一，“反比例函数的图象和性质”本身就是“数”与“形”的统一体，体现了数形结合的思想．反比例函数是自变量和因变量之间具有反比例关系的函数，无论从其概念，还是其性质(在某一象限内，y随x的增大而增大(或减小))都体现了变化与对应的函数思想．研究反比例函数的图象与性质时，由“解析式(确定自变量取值范围)”到“作图(列表、描点、连线)”再到“性质(观察图象探究性质)”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用．反比例函数的图象和性质在后≠0的条件下，分为．k>0、k<0两种情况进行研究，这又体现了分类思想．

　　

　　第二，从研究方法L来看，反比例函数的学习也体现了研究函数的一般套路和方法，研究反比例

　　

　　函数的图象和性质可以类比研究正比例函数的图象和性质来进行．而两者之间的类比不仅仅要关注“同”，也要关注“异”，“异”才是体现某一知识本质属性的东西．例如，反比例函数图象的不连续性是其与正比例函数图象的一个不同点，它也是反比例函数需要在不同象限内分别讨论增减性的原因，这也是本节课学生的认知难点．解决这一难点的办法是要回到函数解析式上y=(k≠0)，而这正足从“形”到“数”，是数形结合思想的体现．

　　

　　二、过程呈现，彰显内隐的数学思想

　　

　　1．重视引入环节

　　

　　“反比例函数的图象和性质”的引入，在类比思想的立意下，可从一次函数的复习人手，提出以

　　

　　下问题：

　　

　　问题1：在一次函数的学习中，我们研究哪些问题?

　　

　　问题2：我们研究过哪些函数的图象和性质，都研究了哪些内容?

　　

　　问题3：我们是怎样研究的?研究的方法足什么?

　　

　　问题l是知识结构的类比．揭示教材中基本初等函数研究内容“函数概念——函数图象和性质——函数的实际应用”整体结构的“同构”现象，指明在学习反比例函数概念后，相继将要研究的问题，引出课题．

　　

　　问题2是研究内容的类比．重点回顾正比例函数图象和性质，列出下表：

　　

　　在回顾正比例函数图象和性质的基础上，明确本节课的学习任务．随着学习进程逐次完成表格．同时凸显“正(正比例函数)”与“反(反比例函数)”相比“反”在何处，由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，使学生对正比例函数、反比例函数的认识更加深刻．

　　

　　问题3是研究方法的类比．一是数形结合地研究函数图象和性质的“三部曲”；二是“数”与“形”

　　

　　相互转化的研究方法(图象“特征”一函数“特性”)．通过问题3明确学习线索和方法．

　　

　　2．组织探究活动

　　

　　数学思想具有过程性的特点，必须有自己身体力行的实践，从自己亲身经历的探索思考过程中获得体验，从自己不断深入的概括活动中，获得对数学思想的领悟．因此，教学中，在蕴涵有数学思想的地方组织探究活动，让学生在探究过程中经历数学思想的形成过程．

　　

　　在“反比例函数的图象和性质”教学中，立意于数形结合、变化与对应思想的教学，可组织如下

　　

　　探究活动：

　　

　　活动1：作反比例函数y=和y=-的图象．

　　

　　作反比例函数的图象有三大认知难点，一是列表时确定自变量x的取值；二是连线时用平滑的曲线连接而不是连成折线；三是图象的变化趋势，越来越靠近x轴和y轴，而不是相交．突破这些难点，可进行以下探究：

　　

　　探究l：列表时如何选取x的值?

　　

　　探究2：连线时任意相邻两点应如何连接?用线段连接行吗?

　　

　　探究3：反比例函数图象的趋势特征是什么?你能从函数解析式加以解释吗?

　　

　　根据现阶段教学要求和本节课的教学任务以及学生实际，问题1给出提示：

　　

　　探究1提示：提示1：首先确定自变量x的取值范围；

　　

　　提示2：根据x和y，的对应关系，考虑x所取值应利于y值计算和描点；

　　

　　提示3：能整体反映函数图象的轮廓．

　　

　　探究2提示：选定相邻两点，如点A(1，6)和点B(2，3)，在l<x<2的范围内，取x=，得到点C，判断点C与线段AB的位置关系．在点A与点C和点C与点B之问再分别各取一点，验证你的判断．推而广之，使学生认识为什么用向下凹的平滑曲线连接的道理．

　　

　　探究1解决自变量取值能否整体反映图象轮廓和利于计算、描点问题，能使学生领悟到数形结

　　

　　合地思考问题和函数对应关系运用．探究2判断点C与线段AB的位置关系和探究3由解析式中x≠0、y≠0得到图象与x轴和)，轴不相交，都能使学生领悟到数形结合、数形转化思想的运用．在作反比例函数图象时，上述三个认知难点是客观存在的．若回避难点，如列表时给出x的值；描点、连线时教师作出示范或虽由学生作图，但对出现的问题(连成折线、与X轴相交等)不加解释地给出评判，都不利于知识的深刻理解，不利于后继二次函数乃至高中函数知识的学习，同时，也失去了领悟数学思想的机会．

　　

　　活动2：归纳反比例函数的性质．

　　

　　作完反比例函数y=和y=-的图象以及练习中反比例函数y=和y=-的图象后，观察图象归纳反比例函数性质．这种归纳采用的是不完全归纳法，尽管不完全归纳法在数学上是不严格的，但这种归纳方式是符合学生的认知水平的．归纳过程可采用类比的方法，类比一次函数图象和性质完成引入问题2中的表格．突出图象“特征”与函数“特性”问的数形转化，特别是图象位置以及变化趋势与x、y取值以及，，和省间变化对应关系的相互解释与印证．在立意于类比、转化和分类思想的教学下，可进行如下探究：

　　

　　探究1：观察函数)，y=和y=-以及y=和y=-的图象，你能发现它们的共同特征以及不同点吗?

　　

　　探究2：函数的图象位于哪些象限?由什么因素决定?

　　

　　探究3：在每个象限内，y随x的变化如何变化?

　　

　　在探究l中，其共同特征：图象不过坐标原点，图象为两支曲线且与两坐标轴无交点，可回归到解析式(k≠0)，从x≠0，y≠0加以解释，从而渗透数形结合、数形转化的思想．其不同点：图象分为在一、三象限和二、四象限两类，转化到解析式上分为k>0和k<0，渗透分类思想．

　　

　　在探究2中，从“数”到“形”：由xy=k(k>0)，x、y，同号，反映到函数图象上，图象在一、三象限；xy=k(k<0)，x、y异号，反映到函数图象上，图象在二、四象限．反之，从“形”到“数”亦然．从而渗透数形结合和数形转化的思想．

　　

　　在探究3中，从“数”到“形”：由x与y的反比例关系，随着的不断增大(或减小)，不断减小(或增大)，反映到函数图象上，图象越来越靠近x轴(或y轴)；图象在一、三象限内逐渐下降，图象在二、四象限内逐渐上升．反之，从“形”到“数”亦然．从而渗透数形结合、数形转化和变化对应的思想．

　　

　　图象“特征(形)”是函数“特性(数)”的直观表象，双方可以相互解释和印证．“数”抽象时，可

　　

　　以用“形”说明，“形”难理解时，可以用“数”解释．这种“数”与“形”的结合，既是一种思想，也是学习函数和解决有关函数问题的方法．揭示出反比例函数的图象和性质中所蕴涵的思想方法，即抓住了内容的核心本质．突出核心本质的教学与“只讲知识，机械记忆”相比，其教育价值有天壤之别．

　　

　　3．关注应用训练

　　

　　数学思想不能机械记忆，也不能只喊“口号”，只有将数学思想内化为数学思维意识和习惯才有意义．数学思想内化为数学思维意识，需要“实践——认识——再实践——再认识”的过程．因此，在反比例函数图象和性质教学中，设置体现数学思想的例题或练习是十分必要的．如：

　　

　　题目1：如图1是反比例函数y=图象的一支，根据图象回答下列问题：(1)常数m的取值范围是什么?图象的另一支位于哪个象限?

　　

　　(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a，b)和点B(c，d)，

　　

　　如果a<c，那么b和d有怎样的大小关系?

　　

　　此题采用“数”与“形”相结合的呈现方式，这在呈现方式上就渗透着数形结合思想．特别是第

　　

　　(2)问，相比它的代数呈现方式——当x变化时)，如何变化，数形结合的呈现方式更具抽象性和一般性．解题的思维过程“观察图象——确定解析式中m的取值范围——根据图象上点A、B的位置关系确定b和d的大小”，更是体现着数形结合和数形转化思想的运用．通过此题，不仅能进一步加深学生对知识的理解，而且对数形结合思想和转化思想也会有更加深刻的认识．

　　

　　4．强调小结归纳

　　

　　小结不仅要引导学生归纳知识，还要对思想方法进行概括总结．但在目前的数学教学中，小结往往“八股化”，教师往往会在小结时提出“本节课你有哪些收获?”“本节课你学习了哪些知识?”“你又学习了哪些数学思想方法?”数学思想具有“隐喻性”“过程性”的特点，不是给它“贴上标签”学生就能理解的．在教学过程中需要结合具体内容，在小结时也同样需要结合具体内容．在“反比例函数的图象和性质”教学中，蕴涵着数形结合、变化与对应、类比、转化的数学思想，小结时可用下页框图进行概括总结．

　　

　　这样小结，将知识与思想融为一体，使得思想有载体，知识有灵魂．

　　

　　三、教学反思，立意深远的数学思想

　　

　　1．把握数学思想的教学要求

　　

　　本节课所涉及的数形结合、变化与对应、类比、转化、分类思想的教学，充分体现了数学思想教学要求的三个层次：渗透、介绍和突出．渗透，就是要在具体的数学知识的教学中，融进某些抽象的数学思想，使学生对这些思想有一些初步的感觉或直觉．例如变化与对应的思想，它是在作反比例函数图象(列表)和归纳函数增减性教学过程中进行渗透的．介绍，就是要把某些数学思想在适当的时候

　　

　　融合于数学知识中，使学生对这些思想有初步的理解，有一定的理性认识．例如类比思想，反比例函数学习过程是类比正比例函数学习过程进行的，期间不仅有知识结构、学习内容的类比，更为突出的是研究方法的类比．通过类比使学生形成有序的知识链条，建立良好的认知结构；通过类比让学生明确研究函数图象和性质的基本套路．这才是对学生进行数学思维策略的引导，这才是数学理性精神的教学．不仅对学生领悟数学思想有作用，而且也有助于学生创新精神和实践能力的培养．突出，就是要在介绍的基础上经常性地予以强调，使学生能加以运用．例如数形结合和转化思想，整个教学过程都是在数形结合和数形转化思想统领下进行的，并且在应用训练中进行了强化．

　　

　　当然，对于同一种数学思想，其教学要求也有一个循序渐进的发展过程，不同时期、不同学段要

　　

　　求不同．例如，对于变化与对应思想，在初中阶段可以结合函数概念和三种基本初等函数(一次函数、

　　

　　反比例函数和二次函数)的性质进行“渗透”，到了高中就要求是“介绍”甚至“突出”的层次了．

　　

　　2．立足数学思想的知识载体

　　

　　数学思想的教学需要以知识内容为载体，没有载体，也就没有思想．本节课寓数学思想于知识教学之中，充分体现了数学思想的三大特点：隐喻性、过程性和活动性．隐喻性，数学思想常常隐于知识内部，例如，反比例函数的图象和性质本身就是“数”与“形”的统一体，这就需要教师对教学内容有较深层次的理解，善于析出教学内容中蕴涵的数学思想．另外，数学知识的形成过程也常常是承载数学思想的载体，例如，反比例函数性质的归纳过程，实际上就是不断地进行“数”与“形”的转化过程，这需要教师有很强的数学思想教学的意识，组织起立意于数学思想的教学．过程性，数学思想的形成需经历“认识——实践——再认识——再实践”的过程，不会一蹴而就，不能搞突击教学，需要在日常教学中不断地、不失时机地寓数学思想于学科知识教学之中．活动性，数学思想的形成还重在体验和领悟，教学中，在蕴涵有数学思想的地方组织探究活动是十分必要的．让学生在亲身经历的探索思考过程中获得对数学思想的体验和领悟，进而形成运用这些思想进行思维的意识和习惯．

　　

　　3．突出数学思想的精神实质

　　

　　数学思想的教学不能拘泥于外在表现形式，不能“贴标签”，要把数学思想的精神实质传输给学

　　

　　生．例如，转化思想按其转化形式涉及的方面很多，如：将未知转化为已知；将一般转化为特殊；将高次转化为低次；将多元转化为一元；将陌生转化为熟悉；将分散转化为集中；将数转化为形；将动转化为静；将部分转化为整体；等等．但无论哪种形式，转化的双方既有“对立”的一面又有“统一”的一面，“对立”是形式，“统一”是实质，转化是寻求问题解决的途径和手段．在反比例函数的图象和性质中涉及的转化思想属于数形转化．“形(图象特征)”是“数(函数特性)”的直观表象，它们反映的是同一种事物，只是反映的角度、形式不同．揭示出数与形“统一”的一面，也就揭示出数形转化思想的精神实质．如果只追求外在形式的转化，简单地将图象特征用数学语言表述为性质，这从突出数学思想精神实质的角度看，教育价值似乎低了些．

　　

　　参考文献：

　　

　　[1]李海东．重视数学思想方法的教学——“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第六次课题会议成果综述[J]．中国数学教育(初中版)，20ll，(1／2)．

　　

　　[2]章建跃．聚焦中学数学核心概念、思想方法的课题教学设计[J]．中学数学教学参考，2008，(1l上)．

　　

　　【作者简介】何志平，天津市静海县教育教学研究室；李海东，人民教育出版社．

　　

　　【原文出处】摘自《中学数学教学参考》(西安)，2011．3中．2～5

　　

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