2013年高考数学二模文科试卷B版(朝阳区有答案)

逍遥学能  2013-09-12 00:33

数学(文) 2013.5
第一部分( 共40分)
一、:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)已知集合 , ,则 =
A. B. C. D.
(2)已知 : , : ,则 是 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)函数 ( )的图象的一条对称轴方程是
A. B. C. D.
(4)执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 ,则判断框内的条件是
A. ? B. ?
C. ? D. ?
(第4题图)
(5)若双曲线 的渐近线与抛物线 相切,则此双曲线的离心率等于
A. B. C. D.
(6)将一个质点随机投放在关于 的不等式组 所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 的概率是
A. B. C. D.
(7)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
A. B.
(第7题图)
(8)已知函数 ,定义函数 给出下列命题:
① ; ②函数 是奇函数;③当 时,若 , ,总有 成立,其中所有正确命题的序号是
A. ② B.①③ C.②③ D.①②
第二部分(非选择题 共110分)
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
(9) 为虚数单位,计算 .
(10)已知向量 ,若 ,则 的值为 .
(11)已知等差数列 的公差为 , 是 与 的等比中项,则首项 _,前 项和 __.
(12)若直线 与圆 相交于 , 两点,且线段 的中点坐标是 ,则直线 的方程为 .
(13)某公司一年购买某种货物 吨,每次都购买 吨( 为 的约数),运费为 万元/次,
一年的总存储费用为 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 吨.
(14)数列 的前 项 组成集合 ,从集合 中任取 个数,其所有可能的 个数的乘积的和为 (若只取一个数,规定乘积为此数本身),记 .例如当 时, , , ;当 时, , , , .则当 时, ;试写出 .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题满分13分)
在 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(Ⅰ)求函数 的最大值;
(Ⅱ)若 ,求b的值.
(16)(本小题满分13分)
为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格,成绩在6至8米(含6米不含8米)的为及格,成绩在8米至12米(含8米和12米,假定该市初二学生掷实心球均不超过12米)为优秀.把获得的所有数据,分成 五组,画出的频率分布直方图如图所示.已知有4名学生的成绩在10米到12米之间.
(Ⅰ)求实数 的值及参加“掷实心球”项目
测试的人数;
(Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率;
(Ⅲ)若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取
2名学生再进行其它项目的测试,求所抽
取的2名学生来自不同组的概率.
(17)(本小题满分14分)
如图,已知四边形 是正方形, 平面 , , , , , 分别为 , , 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求证:平面 平面 ;
(Ⅲ)在线段 上是否存在一点 ,使 平面 ?
若存在,求出线段 的长;若不存在,请说明理由.
(18) (本小题满分13分)
已知函数 , ( ).
(Ⅰ)求函数 的单调区间;
(Ⅱ)求证:当 时,对于任意 ,总有 成立.
(19) (本小题满分14分)
已知椭圆 的右焦点 ,长轴的左、右端点分别为 ,且 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)过焦点 斜率为 的直线 交椭圆 于 两点,弦 的垂直平分线与 轴相交于点 . 试问椭圆 上是否存在点 使得四边形 为菱形?若存在,试求点 到 轴的距离;若不存在,请说明理由.
(20)(本小题满分13分)
已知实数 ( 且 )满足 ,记 .
(Ⅰ)求 及 的值;
(Ⅱ)当 时,求 的最小值;
(Ⅲ)当 为奇数时,求 的最小值.
注: 表示 中任意两个数 , ( )的乘积之和.
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案(文史类) 2013.5
一、选择题:
题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
答案DABCBCAC
二、题:
题号(9)(10)(11)(12)(13)(14)
答案

8;
63;
(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分)
三、解答题:
(15)(本小题满分13分)
(Ⅰ) .
因为 ,所以 .
则所以当 ,即 时, 取得最大值,且最大值为 .……7分
(Ⅱ)由题意知 ,所以 .
又知 ,所以 ,则 .
因为 ,所以 ,则 .
由 得, . ……………………13分
(16)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)由题意可知 ,解得 .
所以此次测试总人数为 .
答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人. ……………………4分
(Ⅱ)由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,成绩优秀的频率为 ,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率为 . ……………………7分
(Ⅲ)设事件A:从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组.
由已知,测试成绩在 有2人,记为 ;在 有6人,记为 .
从这8人中随机抽取2人有 ,
共28种情况.
事件A包括 共12种情况.
所以 .
答:随机抽取的2名学生来自不同组的概率为 . ……………………………13分
(17)(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:因为 , 分别为 , 的中点,
所以 .
又因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 . ……………4分
(Ⅱ)因为 平面 ,所以 .
又因为 , ,
所以 平面 .
由已知 , 分别为线段 , 的中点,
所以 .
则 平面 .
而 平面 ,
所以平面 平面 . …………………………………………………9分
(Ⅲ)在线段 上存在一点 ,使 平面 .证明如下:
在直角三角形 中,因为 , ,所以 .
在直角梯形 中,因为 , ,所以 ,
所以 .又因为 为 的中点,所以 .
要使 平面 ,只需使 .
因为 平面 ,所以 ,又因为 , ,
所以 平面 ,而 平面 ,所以 .
若 ,则 ∽ ,可得 .
由已知可求得 , , ,所以 .……14分
(18)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)函数 的定义域为 ,
.
当 时,
当 变化时, , 的变化情况如下表:
当 时,
???
综上所述,
当 时, 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 , ;
当 时, 的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 .
……………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 时,
在 上单调递增, ; 在 上单调递减,且 .
所以 时, .
因为 ,所以 ,
令 ,得 .
①当 时,由 ,得 ;由 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
所以 .
因为 ,
所以对于任意 ,总有 .
②当 时, 在 上恒成立,
所以函数 在 上单调递增, .
所以对于任意 ,仍有 .
综上所述,对于任意 ,总有 . …………………13分
(19)(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)依题设 , ,则 , .
由 ,解得 ,所以 .
所以椭圆 的方程为 . …………………………………………4分
(Ⅱ)依题直线 的方程为 .
由 得 .
设 , ,弦 的中点为 ,
则 , , , ,
所以 .
直线 的方程为 ,
令 ,得 ,则 .
若四边形 为菱形,则 , .
所以 .
若点 在椭圆 上,则 .
整理得 ,解得 .所以椭圆 上存在点 使得四边形 为菱形.
此时点 到 的距离为 . ………………………………………………14分
(20)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)由已知得 .
. ………………………3分
(Ⅱ) 时, .
固定 ,仅让 变动,那么 是 的一次函数或常函数,
因此 .
同理 .
以此类推,我们可以看出, 的最小值必定可以被某一组取值 的 所达到,于是 .
当 ( )时,

因为 ,
所以 ,且当 , ,时 ,
因此 . ……………………………………………7分
(Ⅲ)
.
固定 ,仅让 变动,那么 是 的一次函数或常函数,
因此 .
同理 .

以此类推,我们可以看出, 的最小值必定可以被某一组取值 的 所达到,于是 .
当 ( )时,

当 为奇数时,因为 ,
所以 ,另一方面,若取 ,


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