向量运算律反应出的数学原理

      我们都学过向量，都知道向量的一些运算律跟实数运算律一模一样，除了不满足结合律、消去率。正因为在实数运算的衬托下，这些运算律在我们看来是那么地自然，那么地想当然，或许我们早已忘记这些运算律的证明，就如同学夫子在“向量数量积分配率”这个问题上犯下的疏忽。关于分配率的相关信息，请参考文章《对“向量法证明线面垂直一法质疑”的回应》。今天我们来看看向量数乘中的分配率。
      我们知道向量数乘的分配率成立：
      λ(a+b)=λa+λb
      其中a、b代表a、b向量。
      不要看着这个分配率很简单，因为有了实数的对照。事实上他还有另外一个身份：向量数乘分配率实际上就是三角形相似原理的向量表示。也就是说，这其中其实包含了很重要的相似三角形理论。且看：
      
       向量AB=向量a，BC=b，取向量DB=λa，BE=λb，DE=DB+BE=λa+λb，按照相似三角形的理论，此时△ABC∽DBE，所以向量DE=λAC=λ(a+b),所以向量数乘满足分配率律。因此我们说，向量数乘的分配率，实际上是相似三角形理论的向量刻画。平时我们没有注意的东西，还藏着很重要的理论呢！
       文章来源：学夫子数学博客

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