用构造局部不等式法证明不等式

有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。

例1. 若 < > ， ，求证：

分析：由a，b在已知条件中的对称性可知，只有当< > ，即 时，等号才能成立，所以可构造局部不等式。

证明：

∴ 是n个正数，求证：

。

证明：题中这些正数的对称性，只有当 时，等号才成立，构造局部不等式如下：

。

将上述n个同向不等式相加，并整理得：

。

例3. 已知 均为正数，且 ，求证：

。

证明：因 均为正数，故 ，

。

又∵

故 。

例4. 设 ，求证： 。

（第36届IMO）

证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当 时，才有可能达到最小值 ，此时刚好 ，

，

，

，且 。

证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当 。所以，可构造如下局部不等式。

∵

即

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