逍遥学能 2013-06-30 10:34
一. 本周教学内容：三角函数的性质及三角恒等变形
【考点梳理】
一、本章内容
1. 角的概念的推广，弧度制．
2. 任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式．
3. 两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切．
4. 正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin（ωx ）的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角．
5. 余弦定理、正弦定理．利用余弦定理、正弦定理解斜三角形．
二、本章考试要求
1. 理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算．
2. 掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义．
3. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
4. 能正确地运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
5. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin（ωx ）的简图，理解A、ω、 的意义．
6. 会由已知三角函数值求角，并会用符号
【命题研究】
分析近五年的全国，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%．的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是命题的一个常考的基础性的题型．其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题．的走势，体现了新课标的理念，突出了对创新的考查．
如：福建卷的第17题设函数 ，
；
（2）若函数 的图象按向量 平移后得到函数 的图象，求实数 的值．此题“重视拓宽，开辟新领域”，将三角与向量交汇．
【策略】
三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点．第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度．当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜．由于三角函数解答题是基础题、常规题，属于容易题的范畴，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势．总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力．
解答三角函数高考题的一般策略：
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”．
（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系．
（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化．
三角函数恒等变形的基本策略：
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ sin2θ=tanx?cotx=tan45°等．
（2）项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin2x 2cos2x=（sin2x cos2x） cos2x=1 cos2x；配凑角：α=（α β）－β，β= － 等．
（3）降次，即二倍角公式降次．
（4）化弦（切）法．将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）．
（5）引入辅助角．asinθ bcosθ= sin（θ ），这里辅助角 所在象限由a、b的符号确定， 角的值由tan = 确定．
【典型例题分析与解答
例1、
解法二：（从“名”入手，异名化同名）
的图像过点 ，且 的最大值为 的解析式；（2）由函数 图像经过平移是否能得到一个奇函数解析：（1） ，解得 ，
所以 ，将 的图像，再向右平移 单位得到 的图像先向上平移1个单位，再向右平移 单位就可以得到奇函数点评：本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，这是高考命题的重点内容，应于以重视．
例3、为使方程 内有解，则 的取值范围是（ ）
分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为 ，于是问题转化为：若关于 的一元二次方程 上有解，求 的取值范围，解法如下：
分析二： 上的值域．
解法如下：
点评：换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题．
例4、已知向量 的值．
所以 ；
（2） ，所以 ，所以 ，所以点评：本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点．
例5、已知向量 ，向量 ，且 ，
（1）求向量 与向量 的夹角为 ，向量 为 依次成等差数列，求 的取值范围．
解析：（1）设 ，由 ，有 ①
向量 ，有 ，则 ②
由①、②解得：
（2）由 垂直知 ，
由 ，则 ，
＝ ，
,
例6、如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=
（1）用a， 变化时，求 取最小值时的角解析：（1） ，则
固定，
令
函数 在 上是减函数，于是当 ．
点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例．通过引入角度，将图形的语言转化为三角函数的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数 的图象的一条对称轴方程是（ ）
A.
C. D.
2、下列函数中，以 为周期的函数是（ ）
A.
B.
D.
3、已知 等于（ ）
A.
4、已知 B.
C. D.
5、函数A、 B、 C、 D、
6、如图，半径为2的⊙M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB．旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为 ，那么 的图象是（ ）
7、tan15°－cot15°＝（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
8、给出下列的命题中，其中正确的个数是（ ）
（1）存在实数α，使sinαcosα=1；
（2）存在实数α，使sinα cosα= ；
（3） 的值域为（ ）
A. B. C. 在下面哪个区间内是增函数（ ）
A. C.
11、若点P ］内
D.
12、定义在R上的函数 即是偶函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，且当 ，则 B. C.
二、填空题
13、 ，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：
； ，则其中所有正确结论的序号是 ．
15、给出问题：已知 ，试判定 ，去分母整理可得 ， ．故 ，
（1）求函数 的奇偶性．
18、（1）已知： ，求证： 的最小值为0，求x的集合．
20、在 所对的边分别为 ，
（1）求 ，求 的最大值．
21、已知向量 ，函数 的周期为 ，当22、如图，足球比赛场的宽度为a米，球门宽为b米，在足球比赛中，甲方边锋沿球场边线，带球过人沿直线向前推进．试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中角的正切值最大？（注：图中表示乙方所守球门，所在直线为乙方底线，只考虑在同一平面上的情形）．
【试题答案】
1、A 2、D 3、A 4、A 5、A 6、A
7、D 8、B 9、B 10、D 11、B 12、D
13、
17、解：（1） ，
定义域：R，最小正周期为 ；
（2） ，且定义域关于原点对称，
所以
（2）
当 ，
当
19、解： ，因为 ，有 ，
亦即 ，由 ，
解得 ，
当 ，最大值为0，不合题意，
当 ，最小值为0，
当 时，x的集合为：
（2） ，又 时， ，故 的最大值是 ．
21、解：（1） 且最大值为1，所以 由 ；
（2）由（1）知，令 所以 是 的对称轴．
22、解：以L为x轴，D点为坐标原点，建立直角坐标系，
设AB的中点为M，则根据对称性有
，
设动点C的坐标为 ，记 ，
当且仅当 ，
故该边锋在距乙方底线 时起脚射门可命中角的正切值最大．