多边形内角和问题的求解技巧

1、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角。这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出，因此，在解题时应根据需要加以利用。
例1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，求此正多边形的边数。
分析：由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角，根据题意，可先求出外角的大小，再求边数。
解：设每个外角的大小为x°，则与它相邻的内角的大小为（3x+20）度。根据题意，得

解得，即每个外角都等于40°。
所以，即这个正多边形的边数为9。
2、利用多边形内角和公式求多边形的边数时，经常设边数为n，然后列出方程或不等式，利用代数解决几何问题。
例2 已知一个多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的边数。
解法1：设多边形的边数为n，依题意，得

解得n=8，即这个多边形的边数为8。
解法2：依题意知，这个多边形的每个外角是180°－135°=45°。
所以，多边形的边数，即这个多边形的边数为8。
3、正多边形各内角相等，因此各外角也相等。有时利用这种隐含关系求多边形的边数，比直接利用内角和求边数简捷（如上题解法2）。解题时要注意这种逆向的运用。
例3 一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求这个多边形的边数。
分析：从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的问题。由于除去一个内角后，其余内角之和为2570°，故该多边形的内角和比2570°大。又由相邻内、外角间的关系可知，内角和比2570°+180°小。可列出关于边数n的不等式，先确定边数n的范围，再求边数。
解：设这个多边形的边数为n，则内角和为（n－2）·180°。依题意，得

解这个不等式，得。
所以n=17，即这个多边形的边数为17。
说明：这类题都隐含着边数为正整数这个条件。
4、把不规则图形转化为规则图形是研究不规则图形的常用方法，其解题关键是构造合适的图形。
例4 如图1，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小。

图1
分析：解题关键是把该图形与凸多边形联系起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接CF。
解：连接CF。
∵∠COF=∠DOE
∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7
=∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7
=（5－2）×180°
=540°


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