逍遥学能 2013-05-21 01:01
1．下列命题中，真命题是( )
A．函数y＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数
B．函数y＝x3(x－1)0是奇函数，且在定义域内为增函数
C．函数y＝x2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数
D．函数y＝ax2＋c(ac≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数
解析：选C.选项A中，y＝1x在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当a＜0时，y＝ax2＋c(ac≠0)在(0,2)上为减函数，故选C.
2．奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为( )
A．10 B．－10
C．－15 D．15
解析：选C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)ax＝f(6)＝8，f(x)in＝f(3)＝－1.∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15.
3．f(x)＝x3＋1x的图象关于( )
A．原点对称 B．y轴对称
C．y＝x对称 D．y＝－x对称
解析：选A.x≠0，f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称．
4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.
解析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数，
∴区间[3－a,5]关于原点对称，
∴3－a＝－5，a＝8.
答案：8
1．函数f(x)＝x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选D.定义域为{xx≥0}，不关于原点对称．
2．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x＋x B．f(x)＝x2＋1x
C．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝xx2
解析：选D.只有D符合偶函数定义．
3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)f(－x)是奇函数
B．f(x)f(－x)是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数
解析：选D.设F(x)＝f(x)f(－x)
则F(－x)＝F(x)为偶函数．
设G(x)＝f(x)f(－x)，
则G(－x)＝f(－x)f(x).
∴G(x)与G(－x)关系不定．
设(x)＝f(x)－f(－x)，
∴(－x)＝f(－x)－f(x)＝－(x)为奇函数．
设N(x)＝f(x)＋f(－x)，则N(－x)＝f(－x)＋f(x)．
N(x)为偶函数．
4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，那么g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
解析：选A.g(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝xf(x)，g(－x)＝－x•f(－x)＝－x•f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝ax3＋bx2＋cx是奇函数；因为g(x)－g(－x)＝2ax3＋2cx不恒等于0，所以g(－x)＝g(x)不恒成立．故g(x)不是偶函数．
5．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点( )
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D．(a，f(1a))
解析：选C.∵f(x)是奇函数，
∴f(－a)＝－f(a)，
即自变量取－a时，函数值为－f(a)，
故图象必过点(－a，－f(a))．
6．f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时( )
A．f(x)≤2 B．f(x)≥2
C．f(x)≤－2 D．f(x)∈R
解析：选B.可画f(x)的大致图象易知当x≤0时，有f(x)≥2.故选B.
7．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.
解析：f(x)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，
∴1－a＝0，a＝1.
答案：1
8．下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③f(x)＝0(x∈R)既是奇函数，又是偶函数；④偶函数的图象关于y轴对称．其中正确的命题是________．
解析：偶函数的图象关于y轴对称，不一定与y轴相交，①错，④对；奇函数当x＝0无意义时，其图象不过原点，②错，③对．
答案：③④
9．①f(x)＝x2(x2＋2)；②f(x)＝xx；
③f(x)＝3x＋x；④f(x)＝1－x2x.
以上函数中的奇函数是________．
解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，∴－x∈R，
又∵f(－x)＝－x－x＝－xx＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)∵定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]
即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1且－x≠0，
又∵f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
答案：②④
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x－1) 1＋x1－x；(2)f(x)＝x2＋x x＜0－x2＋x x＞0.
解：(1)由1＋x1－x≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数．
(2)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)，
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)，
综上所述，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
11．判断函数f(x)＝1－x2x＋2－2的奇偶性．
解：由1－x2≥0得－1≤x≤1.
由x＋2－2≠0得x≠0且x≠－4.
∴定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
∵x∈[－1,0)∪(0,1]时，x＋2＞0，
∴f(x)＝1－x2x＋2－2＝1－x2x，
∴f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)，
∴f(x)＝1－x2x＋2－2是奇函数．
12．若函数f(x)的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．
解：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0，
得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
再令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
即f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．