求异面直线所成的角

求异面直线所成的角，一般有两种，一种是几何法，这是人教版（A）版本倡导的传统的，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。还有一种是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是人教版（B）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。

例：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。

解法1：平移法

设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE//D1B 高三，所以∠C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角△C1OE中

所以异面直线

图1

解法2：补形法

在长方体ABCD?DA1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，

所以异面直线A1C1与BD1所成的角为

图2

解法3：利用公式 、 2，则 ， ，

所以

图3

解法4：向量几何法： 为空间一组基向量

所以异面直线A1C1与BD1所成的角为

图4

解法5：向量代数法：

<

以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），

所以异面直线A1C1与BD1所成的角为

图5

解法6：利用公式

定理：四面体A?DBCD两相对棱AC、BD间的夹角

图6

解：连结BC1、A1B在四面体 ，易求得

图7

由定理得：

所以

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