逍遥学能 2013-04-22 10:12
第四章 导数应用
第1.1节 导数与函数的单调性
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3
2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.
3.求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y= +x
4．已知函数y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间.
参考答案
1．(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=(x－x3)′=1－3x2=－3(x2－ )=－3(x+ )(x－ )
令－3(x+ )(x－ )＞0，解得－ ＜x＜ .∴y=x－x3的单调增区间是(－ ， ).
令－3(x+ )(x－ )＜0，解得x＞ 或x＜－ .
∴y=x－x3的单调减区间是(－∞，－ )和( ，+∞)
2．解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b, 令2ax+b＞0，解得x＞－
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－ ，+∞)
令2ax+b＜0，解得x＜－ .∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞，－ )
3．(1)解：y′=( )′= ∵当x≠0时，－ ＜0，∴y′＜0.
∴y= 的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞)
(2)解：y′=( )′
当x≠±3时，－ ＜0，∴y′＜0.
∴y= 的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞).
(3)解：y′=( +x)′ .
当x＞0时 +1＞0，∴y′＞0. ∴y= +x的单调增区间是(0，+∞)
4．解：y′=(x+ )′
=1－1•x－2=
令 ＞0. 解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+ 的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令 ＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+ 的单调减区间是(－1，0)和(0，1).