2013年高考数学总复习 8-1 直线的方程与两条直线的位置关系但因为测试 新人教B版
1.(2011•北京海淀模拟)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. 13 B．－13
C．－32 D. 23
[答案] B
[解析] 设P(x,1)，Q(7，y)，
∵PQ的中点为(1，－1)，
∴x＋72＝1y＋12＝－1，∴x＝－5，y＝－3，∴P(－5,1)，Q(7，－3)，
∴直线l的斜率kPQ＝－3－17－－5＝－13.
2．()(2011•湛江市调研)如果直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋2y－3＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．3 B．－13
C．－3 D.13
[答案] C
[解析] 由两直线垂直可得2a＋3×2＝0，所以a＝－3，故选C.
(理)(2011•梅州模拟)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为( )
A．5 B．4
C．2 D．1
[答案] C
[解析] 由题意知，a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，
∴a2b＝a2＋1，∴ab＝a2＋1a＝a＋1a，
∴ab＝a＋1a＝a＋1a≥2.(当且仅当a＝±1时取“＝”)．
3．()(2011•辽宁沈阳二中检测)“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分 条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 两直线平行的充要条件是2a＝a2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a＝±2.故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．
[点评] 如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p，q互为充要条件，若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件．
(理)(2011•东营模拟)已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：x＋ny＋p＝0，则an＝b是直线l1∥l2的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不 必要条件
[答案] B
[解析] l1∥l2时，an－b＝0，an－b＝0时⇒/ l1∥l2，故an＝b是直线l1∥l2的必要不充分条件．
4．()(2011•烟台模拟)点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是( )
A．(－2,1) B．(－2,5)
C．(2，－5) D．(4，－3)
[答案] B
[解析] x＝2－4＝－2，y＝2－(－3)＝5，故选B.
(理)(2011•皖南八校第三次联考)直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝0
[答案] C
[解析] 由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0，选C.
[点评] 可由点的对称特征及特值法求解．设所求直线上任一点P(x，y)，P关于x＝1对称的点P1(2－x，y)在直线2x－y＋1＝0上，∴2(2－x)－ y＋1＝0，∴2x＋y－5＝0.
5．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如下图所示，那么( )
A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>c
C．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<c
[答案] C
[解析] 由题意知l1：y＝－1ax－ba，
－1a>0，－ba<0，，∴a<0，b<0.
l2：y＝－1cx－dc，由上图知－1c>0，－dc>0，∴c<0，d>0.
由x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，得(a－c)y＝d－b，交点在第一象限，所以y＝d－ba－c>0，因为d－b>0，所以a>c，故选C.
[点评] 由直线的位置提供直线的斜率、在y轴上的截距和两直线交点的信息，将这些信息用数学表达式表达出即可解决问题．
6．(2011•安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点P(2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
[答案] C
[解析] 设过点P(2,1)的直线方程为xa＋yb＝1，
则2a＋1b＝1，即2b＋a＝ab，
又S＝12ab＝4，即ab＝8，
由2b＋a＝ab，ab＝8，解得a、b有三组解
a＝4b＝2，a＝－4－42b＝－2＋22或a＝42－4b＝－2－22.
所以所求直线共有3条，故选C.
7．(2011•宁夏银川一中月考)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．
[答案] －2或1
[解析] 令x＝0得y＝2＋a，令y＝0得x＝a＋2a，
由条件知2＋a＝a＋2a，∴a＝－2或1.
8．()设点A(1,0)，B(－1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围 是________．
[答案] [－2,2]
[解析] 当直线过A点时，b＝2，当直线过B点时，b＝－2，∴－2≤b≤ 2.
(理)若直线被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号)
[答案] ①⑤
[解析] 求得两平行线间的距离为2，则与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.
9．(2011•大连模拟)已知点A(1，－2)，B(,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数的值是________．
[答案] 3
[解析] 由已知条件可知线段AB的中点1＋2，0在直线x＋2y－2＝0上，代入直线方程解得＝3.
[点评] 还可利用kAB⊥kl求解，或AB→为l的法向量，则AB→∥a，a＝(1,2)，或先求AB中点纵坐标y0，利用AB的中点在直线上求出其横坐标x0再求.
10．已知两直线l1：x＋8y＋n＝0和l2：2x＋y－1＝0.试确定、n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
[解析] (1)由题意得2－8＋n＝02－－1＝0，
解得n＝7＝1，
∴当＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(1，－1)．
(2)l1∥l2⇔2＝8≠n－1，
得：＝4，n≠－2，或＝－4，n≠2.
(3)l1⊥l2⇔×2＋8×＝0，
∴＝0，则l1：8y＋n＝0.
又l1在y轴上的截距为－1，
则n＝8.
[点评] 讨论l 1∥l2时要排除两直线重合的情况．处理l1⊥l2时，利用l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0可避免对斜率存在是否的讨论.
11.()(2011•西安八校联考)已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )
A．－4 B．－2
C．0 D．2
[答案] B
[解析] 依题意知，直线l的斜率为k＝tan3π4＝－1，则直线l1的斜率为1，于是有2＋13－a＝1，∴a＝0，
又直线l2与l1平行，∴1＝－2b，∴b＝－2，
∴a＋b＝－2，选B.
(理)直线l1：3x－y＋1＝0，直线l2过点(1,0)，且l2的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为( )
A．y＝6x＋1 B．y＝6(x－1)
C．y＝34(x－1) D．y＝－34(x－1)
[答案] D
[解析] 设直线l1的倾斜角为α，则由tanα＝3可求出直线l2 的斜率k＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34，再由l2过点(1,0)可得直线方程为y＝－34(x－1)，故选D.
[点评] 由l2过点(1,0)排除A，由l1的斜率k1＝3>1知，其倾斜角大于45°，从而直线l2的倾斜角大于90°，斜率为负值，排除B、C，选D.
12．(2011•广州二测)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为( )
A．2x＋y－6＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0 D．x＋2y－9＝0
[答案] B
[解析] 取直线2x－y＋ 2＝0上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线x＋y－5＝0对称的点为B(a，b)，
则a2＋b＋22－5＝0b－2a＝1，解得a＝3b＝5，∴B(3,5)．
由2x－y＋2＝0x＋y－5＝0，解得x＝1y＝4，∴直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1,4)，∴反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，其直线方程为y－4＝4－51－3(x－1)，整理得x－2y＋7＝0，故选B.
13．()若三直线l：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋12＝0能围成三角形，则k不等于( )
A.32 B．－2
C.32和－1 D.32、－1和－12
[答案] D
[解析] 由x－y－1＝02x＋3y＋8＝0得交点P(－1，－2)，
若P在直线x＋ky＋k＋12＝0上，则k＝－12.
此时三条直线交于一点；
k＝32时，直线l1与l3平行．
k＝－1时，直线l2与l3平行，
综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k≠－12，32和－1.
(理)(2011•北京，8)已知点A(0,2 )，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] A
[解析] 因 为AB＝22，要使三角形面积是2，则C点到直线AB的距离为2.直线AB的方程为x＋y－2＝0，设C点所在的直线方程为x＋y＋＝0，所以d＝＋22＝2，解得＝0或＝－4，所以C点的轨迹为x＋y＝0，或x＋y－4＝0.又因为点C在函数y＝x2的图象上，x＋y＝0，和x＋y－4＝0与y＝x2分别有两个交点．故这样的点共有4个．
[点评] 可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判定．
14．()已知两条直线l1：(3＋)x＋4y＝5－3，l2：2x＋(5＋)y＝8.当分别为何值时，l1与l2：
(1)相交？
(2)平行？
(3)垂直？
[解析] (1)当＝－5时，显然l1与l2相交；当≠－5时，两直线l1和l2的斜率分别为k1＝－3＋4，k2＝－25＋，
它们在y轴上的截距分别为 b1＝5－34，b2＝85＋.
由k1≠k2，得－3＋4≠－25＋，即≠－7，且≠－1.
∴当≠－7，且≠－1时，l1与l2相交．
(2)由k1＝k2，b1≠b2，得－3＋4＝－25＋，5－34≠85＋，
得＝－7.
∴当＝－7时，l1与l2平行．
(3)由k1k2＝－1，得－3＋4•(－25＋)＝－1，
＝－133.
∴当＝－133时，l1与l2垂直．
(理)(2011•青岛模拟)已知三点A(5，－1)、B(1,1)、C(2，)，分别求满足下列条件的值．
(1)三点构成直角三角形ABC；
(2)A、B、C三点共线．
[解析] (1)若角A为直角，则A C⊥AB，
∴kAC•kAB＝－1，
即＋12－5•1＋11－5＝－1，得＝－7；
若角B为直角，则AB⊥BC，
∴kAB•kBC＝－1，
即－12•－12－1＝－1，得＝3；
若角C为直角，则AC⊥BC，
∴kAC•kBC＝－1，
即＋1－3•－12－1＝－1，得＝±2，
综上可知，＝－7，或＝3，或＝±2.
(2)方法一：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，)，
∴kAB＝－1－15－1＝－12，
kAC＝－1－5－2＝－1＋3，
由kAB＝kAC，得－12＝－1＋3，
即＝12.
∴当＝12时，三点A、B、C共线．
方法二：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，)，
∴AB→＝(－4,2)，AC→＝(－3，＋1)，
由AB→＝λAC→，得－4＝－3λ2＝λ＋1，
得λ＝43，＝12，
∴当＝12时，三点A、B、C共线．
方法三：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，)，
∴AB＝25，BC＝2－2＋2，
AC＝2＋2＋10.
由三点横坐标可知，BC＋AC＝AB，
即2－2＋2＋2＋2＋10＝25，
2＋2＋10＝－2－2＋2＋25，两边平方，得5•2－2＋2＝3－，两边平方，得42－4＋1＝0，
∴＝12，经验证＝12符合题意，
故＝12时，三点A、B、C共线．
方法四：点A(5，－1)与B(1,1)确定的直线方程为x＋2y－3＝0，将C(2，)的坐标代入得＝12，
故＝12时，三点A、B、C共线．
15．()(2011•西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程．
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
[解析] (1)令x＝0，得y＝a－2.
令y＝0，得x＝a－2a＋1(a≠－1)．
由a－2＝a－2a＋1，解得a＝2，或a＝0.
∴所求直线l的方程为3x＋y＝0，或x＋y＋2＝0.
(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2.
∵l不过第二象限，∴－a＋1≥0，a－2≤0.
∴a≤－1.
∴a的取值范围为(－∞，－1]．
(理)过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若BC＝2AB，求直线l的方程．
[解析] 当k不存在时B(3,0)，C(3,6)．
此时BC＝6，AB＝1， BC≠2AB，
∴直线l的斜率存在，
∴设直线l的方程为：y＋1＝k(x－3)
令y＝0得B(3＋1k，0)
由y＝2xy＋1＝kx－3得C点横坐标xc＝1＋3kk－2
若BC＝2AB则xB－xC＝2xA－xB
∴1＋3kk－2－1k－3＝21k
∴1＋3kk－2－1k－3＝2k或1＋3kk－2－1k－3＝－2k
解得k＝－32或k＝14
∴所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.
1．函数y＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴方程为x＝π4，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
[答案] D
[分析] 由函数的对称轴方程可以得到a、b的关系式，进而可求得直线ax－by＋c＝0的斜率k，再由k＝tanα可求倾斜角α.
[解析] 令f(x)＝asinx－bcosx，
∵f(x)的一条对称轴为x＝π4，
∴f(0)＝fπ2，即－b＝a，∴ab＝－1.
∴直线ax－by＋c＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.
2．若三直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＋k＋12＝0相交于一点，则k的值为( )
A．－2 B．－12
C．2 D. 12
[答案] B
[解析] 由x－y－1＝02x＋3y＋8＝0得交点P(－1，－2)，
P在直线x＋ky＋k＋12＝0上，
∴k＝－12.
3．曲线y＝kx及y＝x＋k(k>0)能围成三角形，则k的取值范围是( )
A．0<k<1 B．0<k≤1
C．k>1 D． k≥1
[答案] C
[解析] 数形结合法．在同一坐标系中作出两函数的图象，可见k≤1时围不成三角形，k>1时能围成三角形．
4．(2011•东青岛模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，当x<0时，f(x)>1，方程y＝ax＋1a表示的直线是( )
[答案] C
[解析] ∵x<0时，ax>1，∴0<a<1.
则直线y＝ax＋1a的斜率0<a<1，
在y轴上的截距1a>1.故选C.
5．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
[答案] C
[解析] 由已知得a≠0，sinB≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－sinAa，k2＝bsinB，由正弦定理得：k1•k2＝－sinAa•bsinB＝－1，所以两条直线垂直，故选C.
6．(2011•深圳二月模拟)设l1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转α角得直线l2，l2的纵截距为－2，l2绕P沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l3：x＋2y－1＝0，则l1的方程为___ _____．
[答案] 2x－y＋8＝0
[解析] 由条件知l1⊥l3，∴kl1＝2，∴tanα＝2，
又l2的倾斜角为2α，tan2α＝－43，
∴l2：y＝－43x－2，
由y＝－43x－2，x＋2y－1＝0，得P(－3,2)，
又P在l1上，∴l1：2x－y＋8＝0.
7．(2011•苏北四市二调)已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，则l1⊥l2的充要条件是a＝____________.
[答案] 13
[解析] 两条直线垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0，对于本题而言就是2a＋(a－1)＝0，解得a＝13.
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