逍遥学能 2013-04-02 11:29
教案64 数列的通项公式（1）
一、前检测
1．等差数列 是递增数列，前n项和为 ，且 成等比数列， 。求数列 的通项公式。
解：设数列 公差为
∵ 成等比数列，∴ ，
即
∵ ， ∴ ………………………………①
∵ ∴ …………②
由①②得： ，
∴
2．已知数列 的前 项和 满足 。求数列 的通项公式。
解：由
当 时，有
……，
经验证 也满足上式，所以
二、知识梳理
（一）数列的通项公式
一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
解读：
（二）通项公式的求法（7种方法）
1.定义法与观察法（合情推理：不完全归纳法）：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目；有的数列可以根据前几项观察出通项公式。
解读：
2.公式法：在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：
(数列 的前n项的和为 ).
解读：
3.周期数列
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
4.由递推式求数列通项
类型1 递推公式为
解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。
类型2 （1）递推公式为
解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
（2）由 和 确定的递推数列 的通项可如下求得：
由已知递推式有 ， ， ， 依次向前代入，得 ，这就是叠（迭）代法的基本模式。
类型3 递推公式为 （其中p，q均为常数， ）。
解法：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。
三、典型例题分析
题型1 周期数列
例1 若数列 满足 ，若 ，则 =____。答案： 。
变式训练1 （2005，湖南5）已知数列 满足 ，则 =（ B ）
A．0 B． C． D．
小结与拓展：由递推式计算出前几项，寻找周期。
题型2 递推公式为 ，求通项
例2 已知数列 ，若满足 ， ，求 。
答案：
变式训练2 已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条知：
分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即
所以
，
小结与拓展：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.
题型3 递推公式为 ，求通项
例3 已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即
又 ，
变式训练3 已知 ， ，求 。
解：
。
小结与拓展：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.
题型4 递推公式为 （其中p，q均为常数， ），求通项
例4 在数列 中， ，当 时，有 ，求 的通项公式。
解法1：设 ，即有 ，对比 ，得 ，于是得 ，数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列，所以有 。
解法2：由已知递推式，得 ，上述两式相减，得 ，因此，数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列。所以 ，即 ，所以 。
变式训练4 在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=__2n+1-3___.
小结与拓展：此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设 ，展开整理 ，比较系数有 ，所以 ，所以 是等比数列，公比为 ，首项为 。二是用做差法直接构造， ， ，两式相减有 ，所以 是公比为 的等比数列。也可用“归纳—猜想—证明”法求，这也是近年高考考得很多的一种题型.
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.