逍遥学能 2013-03-26 10:01
2013年高考数学总复习 11-3 推理与证明但因为测试 新人教B版
1.()(2011•江西，6)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )
A．01 B．43
C．07 D．49
[答案] B
[解析] 75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，
∵2011＝502×4＋3，
∴72011与73末两位数字相同，故选B.
(理)(2011•东济宁一模)已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2010，令f1(x)＝f ′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2011(x)＝( )
A．sinx＋ex B．cosx＋ex
C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex
[答案] D
[解析] f1(x)＝f ′(x)＝cosx＋ex＋2010x2009，
f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋2010×2009x2008，
f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋2010×2009×2008x2007，
f4(x)＝f3′(x)＝sinx＋ex＋2010×2009×2008×2007x2006 ，
由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T＝4；
而f2011(x)＝f ′2010(x)，此时其最后一项的导数将变为0.
故求f2011(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f2011(x)＝f(3＋4×502)(x)＝－cosx＋ex.
2．()(2011•惠州模拟)已知抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．FP1＋FP2＝FP3
B．FP12＋FP22＝FP32
C．2FP2＝FP1＋FP3
D．FP22＝FP1•FP3
[答案] C
[解析] 如图所示，y2＝2px的准线为x＝－p2，P1A⊥l，P2B⊥l，P3C⊥l.
由抛物线定义知：P1F＝P1A＝x1＋p2，P2F＝P2B＝x2＋p2，
P3F＝P3C＝x3＋p2，
∴2P2F＝2(x2＋p2)＝2x2＋p，
P1F＋P3F
＝(x1＋p2)＋(x3＋p2)＝x1＋x3＋p.
又∵2x2＝x1＋ x3，
∴2FP2＝FP1＋FP3.
(理)(2011•东实验中学期末)具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－1x，②y＝x＋1x，③y＝x，0<x<10，x＝1－1x，x>1中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．只有①
[答案] C
[解析] ①对于函数f(x)＝x－1x，
∵f1x＝1x－x＝－x－1x＝－f(x)，∴①是“倒负”变换的函数，排除B；②对于函数f(x)＝x＋1x有f1x＝1x＋x＝f(x)不满足“倒负”变换，排除A；对于③，当0<x<1时，1x>1，
∵f(x)＝x，∴f1x＝1x＝－－1x＝－f( x)；
当x>1时，0<1x<1，∵f(x)＝－1x，
∴f1x＝－x＝－f(x)；当x＝1时，1x＝1，
∵f(x)＝0，∴f1x＝f(1)＝0＝－f(x)，
∴③是满足“倒负”变换的函数，故选C.
3.(2010•东淄博一中)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为?n，则可推算出：EF＝a＋nb＋n，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD、BC相交于O点，设△OAB、△OCD的面积分别为S1、S2，EF∥AB，且EF到CD与AB的距离之比为?n，则△OEF的面积S0与S1、S2的关系是( )
A．S0＝S1＋nS2＋n
B．S0＝nS1＋S2＋n
C.S0＝S1＋nS2＋n
D.S0＝nS1＋S2＋n
[答案] C
[解析] 根据面积比等于相似比的平方求解．
4．()(2011•绍兴月考)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1024
C．1225 D．1378
[答案] C
[解析] 将三角形数记作an，正方形数记作bn，则an＝1＋2＋…＋n＝nn＋12，bn＝n2，
由于1225＝352＝49×49＋12，故选C.
(理)(2011•咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是( )
①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.
A．①④ B．②⑤
C．③⑤ D．②③
[答案] C
[解析] 这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．
5．设?是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a、b∈A ，有a?b∈A，则称A对运算?封闭，下列数集对加法、减法、和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
[答案] C
[解析] 令a＝1，b＝2，ab＝12，可排除A、B.
令a＝2，b＝32，ba＝3，可排除D，故选C.
[点评] 这是一个信息给予题，用筛选法(即排除法解)更加简便．
6．(2011•长春十一中月考)规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是( )
A．P(2007)＝403 B．P(2008)＝404
C．P(2009)＝403 D．P(2010)＝404
[答案] D
[解析] 显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，
∴P(2007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，
P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(2010)＝402，故选D.
7．已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，…，按以上构造规律，第60个数对是________．
[答案] (5,7)
[解析] 所给各数对依次为对整数2,3,4,5，…的分解，且是第一个数从小到大依次分解，2的分解有一个(1,1)，3的分解有两个(1,2)，(2,1)，4的分解有(1,3)，(2,2)，(3,1)，n(n≥2，n∈N)的分解有n－1个，由n－1[1＋n－1]2≤60得，n≤11，
∵n＝11时，11－1×112＝55，故第60个数对为12的分解第5对，由(1,11)， (2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)(或5＋7＝12)知，第5对为(5,7)．
8．(2011•湘潭五模、蚌埠质检)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋at＝6at，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.
[答案] 41
[解析] 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n＋nn2－1＝nnn2－1，所以当n＝6时a＝6，t＝35，a＋t＝41.
9．(2011•江西吉安期末)请下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤2.类比上述结论，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1，你能得到的结论为________．
[答案] a1＋a2＋…＋an≤n(n∈N*)
[解析] 构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，
∵f(x)≥0对任意实数x都成立，
∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，
∵a1，a2，…，an都是正数，∴a1＋a2＋…＋an≤n.
10．设{an}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
[解析] (1)证明：法一(反证法)：若{Sn}是等比数列，则S22＝S1S3，即
a21(1＋q)2＝a1•a1(1＋q＋q2)．
∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，∴q＝0，与q≠0矛盾，故{Sn}不是等比数列．
法二：只需证明SnSn＋2≠S2n＋1.
∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，
∴SnSn＋ 2－S2n＋1＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.
故{Sn}不是等比数列．
(2)解：当q＝1时，{Sn}是等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则由S1，S2，S3成等差数列得，2S2＝S1＋S3.
∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．由于a1≠0，
∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，q＝q2，
∵q≠1，∴q＝0，与q≠0矛盾.
11.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1、x2、x3分别表示该时段单位时间通过路段AB?、BC?、CA?的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )
A．x1>x2>x3 B．x1>x3>x2
C．x2>x3>x1 D．x3>x2>x1
[答案] C
[解析] ∵x1＝50＋(x3－55)＝x3－5⇒x3>x1，
x2＝30＋(x1－20)＝x1＋10⇒x2>x1，
x3＝30＋(x2－35)＝x2－5⇒x2>x3，
∴x2>x3>x1，∴选C.
[点评] 抓住“同一路段上驶入与驶出的车辆数相等”这一信息是解题的关键，考查理解能力．
12．()(2011•泉州模拟)考察下列一组不等式：23＋53>22•5＋2•52,24＋54>23•5＋2•53,2 52 ＋5 52 >22•5 12 ＋2 12 •52，….将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________________．
[答案] a＋n＋b＋n>abn＋anb(a，b>0，a≠b，，n>0)
[解析] 由“23＋53>22•5＋2•52”，“24＋54>23•5＋2•53”，“2 52 ＋5 52 >22•5 12 ＋2 12 •5”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“□□＋□□>□□•□□＋□□•□□”的形式．
再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a□＋b□>a□•b□＋a□•b□”的形式．
再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：a＋n＋b＋n>abn＋anb(a，b>0，a≠b，，n>0)．
(理)观察等式：sin230°＋cos260°＋si n30°cos60°＝34，sin220°＋cos250°＋si n20°cos50°＝34和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是( )
A．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝34
B．sin2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cosα＝34
C．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34
D．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝34
[答案] A
[解析] 观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.
13．()(2011•江苏苏州测试、南宁模拟)已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则AOO＝________.”
[答案] 3
[解析] 如图，易知球心O在线段A上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，则B＝32×23＝33，
A＝12－332＝63，
R＝63－R2＋332，解得R＝64.
于是，AOO＝6463－64＝3.
(理)如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则i＝14 (ihi)＝2Ak.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝k，则i＝14 (iHi)的值为( )
A.4Vk B.3Vk
C.2Vk D.Vk
[答案] B
[解析] 在平面四边形中，连接P点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得
S＝12(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)
＝12(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)＝k2i＝14 (ihi)．
所以i＝14 (ihi)＝2Sk.
类似地，连接Q点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有
V＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)
＝13(kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4)
＝k3(H1＋2H2＋3H3＋4H4)＝k3i＝14 (iHi)，
∴i＝14 (iHi)＝3Vk.
[点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类相类似的对象之间的推理，类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表达出，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．类比推理能够为我们提供发现的思路和方向，但类比推理的结论不一定正确．
14．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：
(1)已知a，b为实数，且a<1，b<1，求证：ab＋1>a＋b.
(2)已知a，b，c均为实数，且a<1，b<1，c<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.
[解析] (1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.
(2)∵a<1，b<1，c<1，据(1)得(ab)•c＋1>ab＋c，
∴abc＋2＝[(ab)•c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.
你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？
即xi∈R，xi<1(i＝1,2，…，n)时，有________．
15．(2011•上海模拟)冬天，洁白的雪花飘落时非常漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克(Koch Heige Von)把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：
(?)将正三角形(图①)的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
(?)将图②的每三边等分，重复上述作图方法，得到图③；
(?)再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．
将图①、图②、图③……中的图形依次记作1，2，…，n，…，设1的边长为1.
记n的边数为an，边长bn，周长为Ln.
(1)写出a1，a2，a3；b1，b2，b3；
(2)求an，bn，Ln.
[解析] (1)a1＝3，a2＝12，a3＝48，b1＝1，b2＝13，b3＝19，
(2)其边数与边长的变化规律是：一条边变为4条边，边长为原的13，如图∴an＋1＝4an，bn＋1＝13bn.
又a1＝3，∴an＝3×4n－1，
∵b1＝1，∴bn＝13n－1.
(3)Ln＝an•bn＝3×4n－1×13n－1
＝3•43n－1.
16．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a.
[证明] 要证b2－ac<3a，
只需证b2－ac<3a2，
因为a＋b＋c＝0，
只需证b2＋a(a＋b)<3a2，只需证 2a2－ab－b2>0，
只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.
因为a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，
所以(a－b)(a－c)>0，显然成立，故原不等式成立．
1．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．
其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，
不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.
2．将正整数排成下表：
则在表中数字2010出现在( )
A．第44行第75列 B．第45行第75列
C．第44行第74列 D．第45行第74列
[答案] D
[解析] 第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行．
又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D.
3．(2011•清远模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
[答案] B
[解析] 观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A→，B→□，C→——，D→○，从而可知图(A)对应B*D，图B对应A*C.
4．(2011•皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0?a1，h1＝h0?a2，?运算规则为：0?0＝0,0?1＝1,1?0＝1,1?1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )
A．11010 B．01100
C．10111 D．00011
[答案] C
[解析] 对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0?1＝1，而h1＝h0?a2＝1?1＝0，故传输信息应是10110.
5．n个连续自然数按规律排成下表：
根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
[答案] A
[解析] 观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2008至2010，其位序应与 相同，故选A.
6．(2010•曲师大附中)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝( )
A.VS1＋S2＋S3＋S4 B.2VS1＋S2＋S3＋S4
C.3VS1＋S2＋S3＋S4 D.4VS1＋S2＋S3＋S4
[答案] C
[解析] 设三棱锥的内切球球心为O，那么由VS－ABC＝VO－ABC＋VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC，
即V＝13S1r＋13S2r＋13S3r＋13S4r，
可得r＝3VS1＋S2＋S3＋S4.
7．(2011•陕西，13)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第五个等式应为______________________．
[答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
[解析] 第1个等式有1项，从1开始
第2个等式有3项，从2开始
第3个等式有5项，从3开始
第4个等式有7项，从4开始
每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.
[点评] 观察各等式特点可得出一般结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
8．(2011•台州模拟)观察下列等式：
(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，
(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，
(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，
(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，
……
由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝________.
[答案] 12n(n＋1)
[解析] 由给出等式观察可知，x2的系数依次为1,3,6,10,15，…，∴a2＝12n(n＋1)．
9．(2011•盐城市高三第一次调研)观察下列几个三角恒等式：
①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；
②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1；
③tan13°tan35°＋tan35°tan42° ＋tan42°tan13°＝1.
一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为__________________________．
[答案] 当α＋β＋γ＝90°时，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1
[解析] 所给三角恒等式都为tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1的结构形式，且α，β，γ之间满足α＋β＋γ＝90°.