逍遥学能 2013-03-21 23:23
2013年高考数学总复习 6-2 等差数列但因为测试 新人教B版
1.()(2011•温州十校二模)若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为( )
A．12 B．18
C．22 D．44
[答案] C
[解析] 根据等差数列的性质可知S11＝11a1＋a112＝11a2＋a102＝11×42＝22，故选C.
(理)(2011•北京海淀期中)已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若a1＝2，S3＝12，则S4＝( )
A．10 B．16
C．20 D．24
[答案] C
[解析] S3＝3a2，又S3＝12，∴a2＝4，∴d＝a2－a1＝2，∴a4＝a1＋3d＝8，S4＝4a1＋a42＝20，故选C.
2．()(2011•福州模拟)等差数列{an}的前n项和 为Sn，若a2＋a6＋a7＝18，则S9的值是( )
A．64 B．72
C．54 D．以上都不对
[答案] C
[解析] 由a2＋a6＋a7＝3a1＋12d＝3a5＝18，得a5＝6.
所以S9＝9a1＋a92＝9a5＝54.
(理)(2010•东日照模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a＝8，则为( )
A．12 B．8
C．6 D．4
[答案] B
[解析] 由等差数列性质知，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8.
∴＝8.故选B.
3．()(2011•西安五校一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a3＋a7＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．8 B．7
C．6 D．9
[答案] C
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，依题意得a3＋a7＝2a5＝－6，∴a5＝－3，∴d＝a5－a15－1＝2，∴an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13.令an>0得n>6.5，即在数列{an}中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n＝6时，Sn取最小值，选C.
(理)(2011•江西八校联考)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为( )
A．22 B．21
C．20 D．19
[答案] C
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则有3d＝93－99＝－6，∴d＝－2；∴a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝3a1－18＝9 9，∴a1＝39，∴an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n.令an＝41－2n>0得n<20.5，即在数列{an}中，前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此在其前n项和中，S20最大．依题意得知，满足题意的k值是20，选C.
4．()(2010•东青岛质检)已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项为( )
A．3 B．－1
C．2 D．3或－1
[答案] D
[解析] 由x2－2x－3<0及x∈Z得x＝0,1,2.
∴a4＝3或－1.故选D.
(理)已知方程(x2－2x＋)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则－n＝( )
A.1 B.34
C.12 D.38
[答案] C
[解析] 设x2－2x＋＝0的根为x1，x2且x1<x2，
x2－2x＋n＝0的根为x3，x4且x3<x4，且x1＝14，
又x1＋x2＝2，∴x2＝74，
又x3＋x4＝2，且x1，x3，x4，x2成等差数列，
∴公差d＝13(74－14)＝12，∴x3＝34，x4＝54.
∴－n＝14×74－34×54＝12，故选C.
5．(2011•江西九校联考)已知数列2，x，y,3为等差数列，数列2，，n,3为等比数列，则x＋y＋n的值为( )
A．16 B．11
C．－11 D．±11
[答案] B
[解析] 依题意得x＋y＝2＋3＝5，n＝2×3＝6，x＋y＋n＝11，选B.
6．()在函数y＝f(x)的图象上有点列(xn，yn)，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝4x2
C．f(x)＝log3x D．f(x)＝34x
[答案] D
[解析] 对于函数f(x)＝34x上的点列(xn，yn)，有yn＝34xn，由于{xn}是等差数列，所以xn＋1－xn＝d，因此yn＋1yn＝34xn＋134xn＝34xn＋1－xn＝34d，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．故选D.
[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．
(理)(2011•江南十校联考)已知直线(3＋1)x＋(1－)y－4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第一项与第二项，若bn＝1an•an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝( )
A.921 B.1021
C.1121 D.2021
[答案] B
[解析] 依题意，将(3＋1)x＋(1－)y－4＝0化为(x＋y－4)＋(3x－y)＝0，令x＋y－4＝03x－y＝0，解得x＝1y＝3，
∴直线(3＋1)x＋(1－)y－4＝0过定点(1,3)，
∴a1＝1，a2＝3，公差d＝2，an＝2n－1，
∴bn＝1an•an＋1＝12(12n－1－12n＋1)，
∴T10＝12×(11－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1)
＝12×(1－121)＝1021.故选B.
7．(2011•洛阳部分重点中学教学检测)已知a，b，c是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a2＋c2b2的值为________．
[答案] 20
[解析] 依题意得①a＋c＝2bb2＝ac，或②a＋c＝2ba2＝bc，或③a＋c＝2bc2＝ab.由①得a＝b＝c，这与“a，b，c是递减的等差数列”矛盾；由②消去c整理得(a－b)(a＋2b)＝0，又a>b，因此a＝－2b，c＝4b，a2＋c2b2＝20；由③消去a整理得(c－b)(c＋2b)＝0，又b>c，因此有c＝－2b，a＝4b，a2＋c2b2＝20.
8．()(2011•天津，11)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
[答案] 110
[解析] 由题意，设公差为d，a1＋2d＝1620a1＋20×20－12d＝20，
解得a1＝20d＝－2
∴S10＝10a1＋1010－12d＝110.
(理)(2011•江苏南通、 扬州、泰州高三调研)设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.
[答案] 105
[解析] ∵a1＋a2＋a3＝15a1a2a3＝80，
∴a2＝5，a1a3＝16，∴a1＋d＝5a1a1＋2d＝16，
∵d>0，∴d＝3a1＝2，
∴a11＋a12＋a13＝3a1＋33d＝105.
9．()将正偶数按下表排成5列：
第1列第2列第3列第4列第5列
第1行2468
第2行16141210
第3行18202224
…………2826
那么2010应该在第________行第________列．
[答案] 252,4
[解析] 通项an＝2n，故2010为第1005项，∵1005＝4×251＋1，
又251为奇数，因此2010应排在第252行，且第252行从右向左排第一个数，即252行第4列．
(理)已知an＝n的各项排列成如图的三角形状：
记A(，n)表示第行的第n个数，则A(21,12)＝________.
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
… … … … … … … … … …
[答案] 412
[解析] 由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n行有2n－1个数，故前n行有Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2个数，因此前20行共有S20＝400个数，故第21行的第一个数为401，第12个数为412，
即A(21,12)＝412.
10．()(2011•济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)在函数f(x)＝3x2－2x的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝3an•an＋1，求数列{bn}的第n项和Tn.
[解析] (1)由已知点(n，Sn)(n∈N＋)在函数f(x)＝3x2－2x的图象上，可得Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)＝6n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝1也适合上式，∴an＝6n－5.
(2)bn＝3anan＋1＝36n－56n＋1
＝12(16n－5－16n＋1)
∴Tn＝12(11－17＋17－113＋…＋16n－5－16n＋1)
＝12(1－16n＋1)＝12－112n＋2.
(理)(2011•重庆，16)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q，由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍)，∴q＝2
∴an＝a1•qn－ 1＝2•2n－1＝2n
(2)数列bn＝1＋2(n－1)＝2n－1
∴Sn＝2×1－2n1－2＋[n×1＋nn－12×2]
＝2n＋1＋n2－2.
11.()(2011•合肥一模)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8＝( )
A．1＋2 B．1－2
C．3＋22 D．3－22
[答案] C
[解析] 设等比数列{an} 的公比为q(q>0)，则由题意得a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，
∵a1>0，∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±2.
又q>0，因此有q＝1＋2，
∴a9＋a10a7＋a8＝q2a7＋a8a7＋a8＝q2＝(1＋2)2＝3＋22，选C.
(理)已知在等差数列{an}中，对任意n∈N*，都有an>an＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋＝0的两根，且前15项的和S15＝，则数列{an}的公差是( )
A．－2或－3 B．2或3
C．－2 D．3
[答案] A
[解析] 由2a5＝a2＋a8＝ 12，得a5＝6，
由S15＝得a8＝15.
又因为a8是方程x2－12x＋＝0的根，
解之得＝0，或＝－45，
则a8＝0，或a8＝－3.
由3d＝a8－a5得d＝－2，或d＝－3.
12．(2011•烟台诊断)设等差数列{an}的前n项和为Sn且S15>0，S16<0，则S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的是( )
A.S15a15 B.S9a9
C.S8a8 D.S1a1
[答案] C
[解析] S15>0S16<0⇒a1＋7d>0，a1＋152d<0⇒a8>0a9<0.
∴0<S1<S2<…<S8>S9>S10>…>S15>0>S16，a1>a2>…>a8>0>a9
∴S8a8最大．故选C.
13．()(2011•湖北，9)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A.1升 B.6766升
C.4744升 D.3733升
[答案] B
[解析] 设该数列为{an}公差为d，则
a1＋a2＋a3＋a4＝3a7＋a8＋a9＝4即4a1＋6d＝33a1＋21d＝4解之得a1＝1322d＝766，
所以第5节的容积为a5＝a1＋4d＝1322＋766×4＝6766.
(理)(2011•哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2011，a2011)，则OP→•OQ→等于 ( )
A．2011 B．－2011
C．0 D．1
[答案] A
[解析] S21＝S4000⇒a22＋a23＋…＋a4000＝0⇒a2011＝0，
又P(1，an)，Q(2011，a2011)，则OP→＝(1，an)，OQ→＝(2011，a2011)，
∴OP→•OQ→＝(1，an)•(2011，a2011)＝2011＋ana2011＝2011，故选A
14．()(2011•哈尔滨六中模拟)若数列{xn}满足xn－xn－1＝d，(n∈N*，n≥2)，其中d为常数，x1＋x2＋…＋x20＝80，则x5＋x16＝________.
[答案] 8
[解析] 由xn－xn－1＝d知{xn}为公差为d的等差数列，
∴x1＋x2＋…＋x20＝80⇒10(x1＋x20)＝80⇒x1＋x20＝8，
∴x5＋x16＝x1＋x20＝8.
(理)(2011•莱阳模拟)数列{a n}，{bn}都是等差数列，a1＝0，b1＝－4，用Sk、Sk′分别表示等差数列{an}和{bn}的前k项和(k是正整数)，若Sk＋Sk′＝0，则ak＋bk＝________.
[答案] 4
[解析] 由条件知，Sk＋Sk′＝kk－12d＋kk－12d′－4k＝kk－1d＋d′2－4k＝0，
∵k是正整数，∴(k－1)(d＋d′)＝8，
∴ak＋bk＝(k－1)d－4＋(k－1)d′
＝(k－1)(d＋d′)－4＝4.
15．()(2011•杭州质量检测)已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2Sn＝an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝1an•an＋1，求数列{bn}的前n项和Bn.
[解析] (1)由2Sn＝an＋1，n＝1代入得a1＝1，
两边平方得4Sn＝(an＋1)2 ①
①式中n用n－1代替得4Sn－1＝(an－1＋1)2
(n≥2) ②
①－②，得4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2,0＝(an－1)2－(an－1＋1)2，
[(an－1)＋(an－1＋1)]•[(an－1)－(an－1＋1)]＝0，
∵{an}是正数数列，∴an－an－1＝2，
所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an＝2n－1.
(2)bn＝1an•an＋1＝12n－12n＋1
＝1212n－1－12n＋1，
裂项相消得Bn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝n2n＋1.
(理)(2011•河南郑州质量检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝1，b3＋b7＝18，且bn－1＋bn＋1＝2bn(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn＝bnan，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解析] (1)由题意Sn＝2－an， ①
当n≥2时，Sn－1＝2－an－1， ②
①－②得an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，
即an＝12an－1，又a1＝S1＝2－a1，
∴a1＝1，故数列{an}是以1为首项，12为公比的等 比数列．所以an＝12n－1；
由bn－1＋bn＋1＝2bn(n≥2)知，数列{bn}是等差数列，
设其公差为d，则b5＝12(b3＋b7)＝9，
所以d＝b5－b14＝2，bn＝b1＋(n－1)d＝2n－1.
综上，数列{an}和{bn}的通项公式为
an＝12n－1，bn＝2n－1.
(2)cn＝bnan＝(2n－1)•2n－1，
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1， ③
2Tn＝1×21＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n， ④
③－④得：－Tn＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n－1)－(2n－1)•2n
＝1＋2×2－2n1－2－(2n－1)•2n＝－(2n－3)•2n－3.
∴Tn＝(2n－3)•2n＋3.
1．(2011•郑州一测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4S8＝13，则S8S16＝( )
A.18 B.13
C.19 D.310
[答案] D
[解析] 设a1＋a2＋a3＋a4＝A1，a5＋a6＋a7＋a8＝A2，a9＋a10＋a11＋a12＝A3，a13＋a14＋a15＋a16＝A4，∵数列{an}为等差数列，∴A1、A2、A3、A4也成等差数列，S4S8＝A1A1＋A2＝13，不妨设A1＝1，则A2＝2，A3＝3，A4＝4，S8S16＝A1＋A2A1＋A2＋A3＋A4＝1＋21＋2＋3＋4＝310，故选D.
2．(2011•济宁模拟)将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组，第一组{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组{14,16,18,20,22,24}，则2010位于第( )组．
A．30 B．31
C．32 D．33
[答案] C
[解析] 因为第n组有2n个正偶数，故前n组共有2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n个正偶数.2010是第1005个正偶数．若n＝31，则n2＋n＝992，而第32组中有偶数64个，992＋64＝1056，故2010在第32组．
3．(2011•黄冈3月质检)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10＝( )
A．1033 B．2057
C．1034 D．2058
[答案] A
[解析] 依题意得an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2n－1＝2n－1，abn＝bn＋1＝2n－1＋1，因此ab1＋ab 2＋…＋ab10＝(20＋1)＋(21＋1)＋…＋(29＋1)＝1×210－12－1＋10＝210＋9＝1033，故选A.
4．(2010•北京顺义一中)一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )
A．i<4? B．i<5?
C．i≥5? D．i<6?
[答案] D
[解析] 由题意知S＝11×2＋12×3＋…＋1ii＋1＝1－12＋12－13＋…＋1i－1i＋1＝ii＋1，故要输出S＝56，i＝5时再循环一次，故条件为i≤5或i<6，故选D.
5．已知函数f(x)＝sinx＋tanx.项数为27的等差数列{an}满足an∈－π2，π2，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，则当k＝______时，f(ak)＝0.
[答案] 14
[解析] ∵f(x)＝sinx＋tanx为奇函数，且在x＝0处有定义，∴f(0)＝0.
∵{an}为等差数列且d≠0，
∴ an(1≤n≤27，n∈N*)对称分布在原点及原点两侧，
∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，∴f(a14)＝0.
∴k＝14.
6．(2011•南京一模)已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2•a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an•an＋1•an＋2>19的最大正整数n的值为________．
[答案] 4
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，其中q>0，依题意得a23＝a2•a4＝4，又a3>0，因此a3＝a1q2＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝12，a1＝8，an＝8×(12)n－1＝24－n，an•an＋1•an＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n>19，只要9－3n≥－3，即n≤4，于是满足an•an＋1•an＋2>19的最大正整数n的值为4.
7．(2011•浙江金华联考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列{1anan＋1}的前n项和，若Tn≤λan＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．
[解析] 设公差为d.
由已知得4a1＋6d＝14，a1＋2d2＝a1a1＋6d，
联立解得d＝1或d＝0(舍去)，
∴a1＝2，故an＝n＋1.
(2)1anan＋1＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2，
∴Tn＝12－13＋13－14＋…＋1n＋1－1n＋2＝12－1n＋2＝n2n＋2.
∵Tn≤λan＋1，∴n2n＋2≤λ(n＋2)，∴λ≥n2n＋22.
又n2n＋22＝12n＋4n＋4≤124＋4＝116.
等号在n＝4n即n＝2时成立．
∴λ的最小值为116.