用三角形的面积桥求锐角三角函数值

一、利用三角形的面积桥求锐角三角函数值
例1 如图1，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，求∠EAF的正切值。

图1
解：连结EF，作FG⊥AE，垂足为G
设正方形的边长为2，则BE=CE=CF=FD=1
由

在中，由勾股定理，得

在△AEF中，

易证：△ABE≌△ADF，∴AF=AE=
在Rt△AFG中
评注：本例考查了勾股定理、全等三角形等，要求锐角三角函数值必须在直角三角形进行，通过添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，为解决问题创造了有利条件，使所求问题化归为利用三角形面积桥来解决。
例2 如图2，AB是圆O的直径，CD⊥AB于P，若BP=2，CD=12，求cos∠CAD的值。

图2
解：∵AB是圆O的直径，AB⊥CD
∴点P是弦CD的中点
∴PD=PC=6
由相交弦定理，得
PA·PB=PD·PC=PD2

在中，由勾股定理，得

易证：

过点D作DE⊥AC，垂足为E

在中，

评注：本例考查了圆中的相交弦定理、垂径定理，还考查了勾股定理、全等三角形等知识，通过添加辅助线，构造直角三角形 初二，利用三角形面积桥的特殊条件，提高了解题与为解决某些问题搭起了平台作用。
二、利用三角形的面积桥求点到直线的距离
例3 如图3，已知圆与圆外切于点C，AB是两圆的外公切线，A、B是切点，点A在圆上，点B在圆上。若AC、BC是关于x的方程的两个实数根，△ABC的周长为30，求点C到直线AB的距离。

图3
解：过点C作两圆的公切线交AB于点P，则AP=PC=PB

，即
∴△ABC是直角三角形。
设BC=a，AC=b，AB=c，根据题意及根与系数的关系，得

将①代入③，得④
根据勾股定理，得
⑤
将①、②、④代入⑤，得
，
经整理，得
，解得
又

都能使原方程有实根。
当时代入④，得
，不合题意，舍去。
当时，代入④，得

∴当时，代入②，得

设点C到直线AB的距离为h

评注：本例由两圆外切来判断三角形的形状，将方程中的根与系数的关系和判别式，以及勾股定理，配、方程等知识点串联在一起，综合性较强，所考查的知识点颇多，涉及面广，拓宽了对相关知识点的考查；同时合理构建方程组模型，利用方程的知识和三角形的面积桥是解决问题的关键；利用整体求值法，避免了求边长，提高了解题速度，有利于培养将所学过的掌握的相关知识转化为解决实际问题的，核心是应用，本例形成了较好的考查知识链。
三、利用三角形的面积桥求三角形的内切圆面积
例4 在△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，求△ABC的内切圆面积。
解：如图4所示，过点A作AD⊥BC，设BD=x，CD=y，则

图4
①
在和中，由勾股定理，得

②
解①，②，得

设△ABC的内切圆半径为r，因为三角形的内切圆圆心到三边的距离相等。
的内切圆面积为（面积单位）。
评注：本例充分利用方程知识和三角形的面积桥，使所求问题无从下手，到“柳暗花明”，使所求问题迎刃而解。
四、利用三角形的面积桥解决其他问题
例5 在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，点P为BC边上的任一点（不与B、C重合），PE⊥AB，PF⊥AC，E、F为垂足，求3PE+4PF的值。
解：如图5过点B作BD⊥AC，垂足为D

图5
设
则①
在和中，由勾股定理，得

即②
解①，②，得

连结AP，则

即
评注：本例是2004年全国高题改编，在解题过程中，利用了方程思想，实现了几何代数化，由方程知识和三角形的面积桥，使解题思路清晰，解题方法跃然纸上，简洁明快，所以三角形的面积桥为提高解题质量和技巧提供了便捷通道。


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