逍遥学能 2013-01-25 10:05
2013届高三新标数学配套月考试题二A
适用地区：新标地区
考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式
本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.（2012•哈尔滨第六中学三模）已知集合 ， ，则 为（ ）
A. B. C. D.
2. (2012•银川一中第三次月考)若 ,则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.
3.（理）[2012•辽宁卷]在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）
A.58 B.88 C.143 D.176
（）[2012•辽宁卷]在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
4. [2012•东卷]若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. [20 12•标全国卷]已知 为等比数列， ， ，则 （ ）
A.7 B.5 C.-5 D.-7
6. [2012•东卷]函数 的最大值与最小值之和为（ ）
A. B.0 C.－1 D.
7.（理）（2012•太原三模）下列判断错误的是（ ）
A. “ ”是” ”的充分不必要条件
B.命题“ ”的否定是“ ”
C.若 均为假命题，则 为假命题
D.若 ，则
（）（2012•太原三模）下列判断正确的是（ ）
A. 若命题 为真命题，命题 为假命题，则命题“ ”为真命题
B. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
C. “ ”是“ ”的充分不必要条件
D. 命题“ ”的否定是“ ”
8.（2012•长春三模）函数 的零点个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
9. (2012•银川一中第三次月考)函数 （其中 ）的图象如图1所示 ，为了得到 的图象，则只需将 的图象( )
A.向右平移 个长度单位
B.向右平移 个长度单位
C.向左平移 个长度单位
D.向左平移 个长度单位 图1
10.（2012•郑州质检）在△ 中 ，若 ，则△ 是( )A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
11. (2012•石家庄二模)已知函数 则满足不等式 的 的取值范围为( )A. B. (-3,1) C. [-3,0) D. (-3,0)
12. (2012•石家庄二模)设不等式组 表示的平面区域为 表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则 =( )
A. 1012 B. 2012 C. 3021 D. 4001
第Ⅱ卷
二、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）
13. [2012•标全国卷]已知向量a,b夹角为 ，且a=1，2a－b= ，则b=________.
14. (2012•石家庄二模)在△ 中， , ,则 的长度为_____.
15. [2012•标全国卷] 设 满足约束条件： 则 的取值范围为 .
16. (2012•银川一中第三次月考)已知 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出字说明、证明过程和演算步骤.
17.（本小题满分10分）[2012•北京卷]已知函数 。
（1）求 的定义域及最小正周期；
（2）求 的单调递减区间.
18.（本小题满分12分）（2012•昆明第一中 学一摸）已知公差不为零的等差数列 满足 ，且 成等比数列。
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设 为数列 的前n项和，求数列 的前n项和
19.（本小题满分12分）[2012•标全国卷]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = 3asinC－ccosA.
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC.的面积为3，求b,c.
20.（本小题满分12分）（理）（2012•郑州质检）已知等差数列 满足： .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ( )，求数列 的前n项和 .
（）（2012•郑州质检）已知等差数列 满足： .
（1）求 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前n项和 .
21. [2012•江苏卷]如图2，建立平面直角坐标系 ， 轴在地平面上， 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 表示的曲线上，其中 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标 不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由.
图2
22.（理）[2012•辽宁卷]设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线 与直线 在(0，0)点相切。
（1）求 的值;
（2）证明：当 时， .
（）[2012•辽宁卷]设f(x)＝lnx＋x－1，证明：
（1）当x>1时，f(x)<32(x－1)；
（2）当1<x<3时，f(x)<9x－1x＋5.
参考答案
1. A【解析】集合={yy>1}，集合N= ，所以 .
2. D 【解析】因为指数函数 在定义域 内单调递减，又 ，所以 .故D项正确.
3.（理）B【解析】由等差数列性质可知，a4＋a8＝a1＋a11＝16，S11＝11×a1＋a112＝88.
（）B【解析】由等差数列的性质“＋n＝i＋j，，n，i，j∈N*，则a＋an＝ai＋aj”，得a4＋a8＝a2＋a10＝16.
4. D【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以 .又 ，所以 .又由 ，得 ，所以 .选D.
5. D【解析】因为 为等比数列，所以 .又 ，所以 或 . 若 ，解得 ，此时 ；若 ，解得 ，仍有 .综上, .选D.
6. A 【解析】因为 ，所以 ，则 ，所以当 时，函数 的最小值为 ；当 时，函数 的最大值为 ，所以最大值与最小值之和为 .选A.
7.（理）D 【解析】A项中， ；但 不能推出 ,例如：当 时， ，故A正确；B项显然正确；C项中, 均为假可以推出 为假，正确；D项中， ，故错误.
（）D【解析】A项中，因为 真 假，所以 为假命题.故A项错误；B项中，“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”， 故B项错误；C项中， 是 的必要不充分条件，故C项错误；D选项正确.
8. B【解析】在同一坐标系内画出函数 和 的图象，可得交点个数为3. 故选B.
9. A 【解析 】由图象易得 ,且函数 的最小正周期为 ,所以 .又由图象过点 ，得 ，则 ,得 ，又 ， 所以 .所以 .将其向右平移 个长度单位，即可得到函数 的图象.
10.D【解析】由 ，得 ，得 ，得 ，得 ,故 .故△ 是直角三角形.
11. D【解析】当 时，满足 ,无解；当 时，满足 ，解得 ；当 时，满足 ，解得 .综上可知， 的范围为 .
12. C【解析】因为 ，所以令 ,又 为整数，所以 .当x=1时， ，有3n个整数点；当x=2时， ，有2n个整数点；当x=3时， ，有n个整数点.综上，共有6n个整数点，所以 .则数列 是以 为首项，公差为12的等差数列.故 .
13. 【解析】因为2a－b= ，所以（2a－b）2=10，即4a2－4ab＋4b2=10，所以4＋b2－4bcos45°=10，整理得b2－ b－6=0，解得b= 或b= （舍去）.
14. 1或2【解析】由余弦定理得 ,即 ,解得BC=1或BC=2.
15. 【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图，由 ，得 .平移直线 ，由图象可知当直线经过点 时，直线 的截距最小，此时 取得最大值3；当直线经过点 时，直线 的截距最大， 取得最小值-3；所以 ，即 的取值范围是 .
16. 【解析】因为 ，所以 .若 恒成立，则 ,解得 .
17.解：（1）由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈Rx≠kπ，k∈Z}． …………………2分
因为f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1
＝2sin2x－π4－1， …………………………4分
所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π. …………………………5分
（2）函数y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．…………………6分
由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)．
所以f(x)的单调递减区间为kπ＋3π8，kx＋7π8(k∈Z)． ……………10分
18. 解：（1）依题意得
因为 ，解得 …………………………4分
所以 . …………………………6分
（2）由（1）得 ，
所以 . ………………………10分
所以 .……………12分
19.解：（1）由c＝3asinC－ccosA及正弦定理得3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.
由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0<A<π，故A＝π3. …………6分
(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2. ……………12分
20. （理）解：（1）设 的首项为 ，公差为 ，则
由 得 …………2分
解得
所以 的通项公式 …………5分
（2）由 得 . …………7分
①当 时，
；…………10分
② 当 时， ，得 ；
所以数列 的前n项和 …………12分
（）解：（1）设 的首项为 ，公差为 ，
则由 得 …………2分
解得 …………4分
所以 的通项公式 …………6分
（2）由 得 . …………8分
…10分
. …………12分
21.解：（1）令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，…………………………2分
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号. …………………………4分
所以炮的最大射程为10 k. …………………………5分
（2）因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 …………………………7分
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a 2＋64)≥0⇔a≤6.
所以当a不超过6 k时，可击中目标. …………………12分
22. （理）解：（1）由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1. …………………………2分
由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为32，
又 ，得a＝0. …………………………5分
（2）(证法一)由均值不等式，当x＞0时，2x＋1•1＜x＋1＋1＝x＋2，故x＋1＜x2＋1.……7分
记h(x)＝f(x)－9xx＋6，则h′(x)＝1x＋1＋12x＋1－54x＋62＝2＋x＋12x＋1－54x＋62
＜x＋64x＋1－54x＋62＝x＋63－216x＋14x＋1x＋62. …………………………9分
令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0＜x＜2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0.
因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)＜0，所以h′(x)＜0.
因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0.
于是当0＜x＜2时，f(x)<9xx＋6. …………………………12分
(证法二)
由（1）知f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1－1.
由均值不等式，当x＞0时，2x＋1•1＜x＋1＋1＝x＋2，故x＋1＜x2＋1.①
令k(x)＝ln(x＋1)－x，则k(0)＝0，k′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1＜0，
故k(x)＜0，即ln(x＋1)＜x.②
由①②得，当x＞0时，f(x)＜32x.
记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0＜x＜2时，h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9
＜32x＋(x＋6)1x＋1＋12x＋1－9
＝12x＋1[3x(x＋1)＋(x＋6)(2＋x＋1)－18(x＋1)]
<12x＋1[3x(x＋1)＋(x＋6)3＋x2－18(x＋1)]
＝x4x＋1(7x－18)＜0.
因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)＝0，
所以h(x)＜0，即f(x)＜9xx＋6.
（）证明：（1）(证法一)记g(x)＝lnx＋x－1－32(x－1).则当x>1 时，
g′(x)＝1x＋12x－32<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减.
又g（1）＝0，有g(x)<0，即f(x)<32(x－1).
(证法二)
由均值不等式，当x>1时，2x<x＋1，故x<x2＋12.①
令k(x)＝lnx－x＋1，则k（1）＝0，k′(x)＝1x－1<0，
故k(x)<0，即lnx<x－1.②
由①②得，当x>1时，f(x)<32(x－1).
（2 ）(证法一)记h(x)＝f(x)－9x－1x＋5，由（1）得
h′(x)＝1x＋12x－54x＋52＝2＋x2x－54x＋52<x＋54x－54x＋52＝x＋53－216x4xx＋52.
令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当1<x<3时，g′(x)＝3(x＋5)2－216<0.
因此g(x)在(1,3)内是递减函数，又由g（1）＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.
因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h（1）＝0，得h(x)<0.于是当1<x<3时，f(x)<9x－1x＋5.
(证法二)记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，
则当1<x<3时，由（1）得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9<32(x－1)＋(x＋5)1x＋12x－9
＝12x[3x(x－1)＋(x＋5)(2＋x)－18x]<12x3xx－1＋x＋52＋x2＋12－18x
＝14x(7x2－32x＋25)<0.
因此h(x)在(1,3)内单调递减，又 ，所以 ，即 .