逍遥学能 2013-01-24 12:48
高三特长班数学总复习——导数及其应用
一、知识梳理：
（一）导数概念及基本运算
1、导数定义：函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率 称为f(x)在x=x0处的导数，并记作
2、导数的几何意义：曲线y=f（x）在某一点（x0，y0）处的导数f’（ x0）就是过点（x0，y0）的切线的斜率,相应地，切线方程为
3、几种常见函数的导数：
（ 为常数）； （ ）； ； ；
； ； ；
4、运算法则： ； ； 。
5、问题1：求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
问题2： 在 处的导数值是___________.
问题3. 求 在点 的切线方程。（点拨：点 在函数的曲线上，因此过点 的切线的斜率就是 在 处的函数值）
（二）导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数的关系
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内 ；如果 ，那么函数 在这个区间内 .
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法：
若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的 ， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是
注：若函数f(x)在点x0处取得极值，则f ‘(x0)= 。
3、基础训练：问题1：求下列函数单调区间：
（1） （2） （分析：首先确定定义域，求导数 ，然后令 >0、 <0，解此不等式即可求得单调区间）
问题2：（1） （2）求该函数在[0，3]上的最大值和最小值
二、抢分演练：
1、若曲线 在点 处的切线方程是 ，则
（A） (B) (C) (D)
2、函数 的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D. 21世纪教育网
3、曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
4、设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处切线的斜率为
A． B． C． D．
5、设曲线 在点（1， ）处的切线与直线 平行，则 （ ）
A．1 B． C． D．
6、若曲线 在点 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8
7、已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是
(A)[0, ) (B) （C） (D)
8、如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数的图象可能是
9、设 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10、曲线 在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
11、若函数 在 处取极值，则
12、函数 的单调减区间为 .
13、在平面直角坐标系 中，点P在曲线 上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
14、曲线 在点（0,1）处的切线方程为 。
三、高考链接：
1、（10东）已知某生产厂家的年利润 （单位：万元）与年产量 （单位：万）的函数关系式为 ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
（A）13万 (B)11万
(C) 9万 (D)7万
2、（10东）已知函数
（I）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（II）当 时，讨论 的单调性.
3、已知函数f（x）=x -3ax +3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。
4、设函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处与直线 相切，求 的值；
（Ⅱ）求函数 的单调区间与极值点.
5、设函数 求函数 的单调区间；21世纪教育网
6、已知函数 .设 ，求函数 的极值；
7、设函数
（Ⅰ）当 曲线 处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
8、已知函数 其中a<0,且a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
9、已知函数 ．
（I）若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ，求 的值；
（II）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围．