逍遥学能 2013-01-24 12:39
湖南师大附中2011-2012学年度上学期高一第一次段考（期中）（数学）
分值：150分 时量：120分钟
第Ⅰ卷 （必考部分 共100分）
一、（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.已知三个集合 及元素间的关系如图所示，则 等于（ C ）
A． B. C. D.
2.下列函数是奇函数的是 （ D ）
A． B.
C. D.
3.下列计算正确的是 （ B ）
A. B.
C. D.
4.函数 的定义域为 （ A ）
A． B. C. D.
5.已知集合 ，则下列式子表示错误的是 （ B ）
A B C D
6．设 ,用二分法求方程 内近似解
的过程中得 则方程的根落在区间 ( B ）
A B C D 不能确定
7．设 ，则 的大小关系是 （ A ）
A． B. C. D.
8.今有一组实验数据如下：
t1.993.04.05.16.12
y1.54.047.51218.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
其中最接近的一个是： （ C ）
A． B. C. D.
二、题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）
9.函数 的零点为 3 ;
10.计算：(1) 1 ; (2) ;
11．已知函数 ，则 0 ;
12.设 ,且 ，则 的取值范围是
13.如果函数 是偶函数，那么 = -1 ;
14.已知函数 ，则 8 .
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题满分8分）已知集合
求 .
解：由题意得 ,
.
16.（本题满分8分）已知函数 .
（1）求证： 在 上是单调递增函数；
(2)若 在 上的值域是 ，求 的值.
解：（1）证明:设 ，则 ，
,
在 上是单调递增的.
（2） 在 上单调递增，
，易得 .
17.（本题满分8分）已知 .
（1）求函数 的定义域；
（2）求使 的x的取值范围.
18.（本题满分10分） 某城市现有人口总数为100万人,如果年自然
增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）.
（参考数据:1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079,lg1.012≈0.005）
解：（1）1年后该城市人口总数为
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).
2年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%
=100×(1+1.2%)2.
3年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%
=100×(1+1.2%)3.
x年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)x.
(2) 10年后，人口总数为
100×(1+1.2%)10≈112.7（万人).
(3) 设x年后该城市人口将达到120万人，
即100×(1+1.2%)x=120,
所以，大约16年以后，该城市人口将达到120万人.
19．（本题满分10分）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)如果函数 在定义域内有零点，求实数 的取值范围.
解：（1）当 时， ，
从而， 的最小值是 ，最大值是 ，
即 的值域是 .
(2) 函数 在定义域内有零点,即方程 在 有实根，
等价于求函数 在 上的值域.令 ，则
.再令 ，
则 ，当 时， 有最大值 ，即 .
第Ⅱ卷 (选考部分 共50分）
20.（本题满分12分）已知集合 ,若A=B,求 的值.
解：由A=B知， ，即 ，此时,
所以 ，解得
与集合元素互异性矛盾，应舍去；
当
21．（本题满分12分）已知二次函数 和一次函数 ，
其中 且满足 ， ．
（1）证明：函数 与 的图象交于不同的两点A，B；
（2）若函数 在 上的最小值为9，最大值为21，求 的解析式.
解：（1）由 与 得 ，
， ，
从而 ，即函数 与 的图象交于不同两点A，B.
（2） 即 ，得
知函数 在[2，3]上为增函数， ，
又 解得 故 .
22.（本题满分13分）已知定义域为 的函数 是奇函数.
（1）求 的值；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
解:（1）因为 是奇函数，所以 =0，即
（2）由（1）知 设 ,则
，
因为函数y=2 在R上是增函数且 , ∴ >0，又 >0,
∴ >0即 . ∴ 在 上为减函数.
因 是奇函数，不等式 等价于 ，
又因 为减函数，∴ ．即对一切 有： ，
从而判别式
23．（本题满分13分）已知定义在区间 上的函数 满足 ，且当 时， .
（1）求 的值；
（2）判断 的单调性并予以证明；
（3）若 解不等式 .
解:（1）令 ，代入得 ，故 .
（2）任取 ，且 则 ，由于当 时， ,
所以 ,即 ，因此 .
所以函数 在区间 上是单调递减函数.
(3) 由 得 ，而 ，所以 .
由函数 在区间 上是单调递减函数，且 ，
得 ，因此不等式的解集为 .