逍遥学能 2013-01-23 15:42
江苏省扬州中学2012—2013学年度第一学期期中考试
高 二 数 学 试 卷 2012年11月
（注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上）
一、题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1． 命题“若 ，则 ”的否命题为 ．
2．若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 的最大值为 ．
3．已知直线 的斜率为 ，则其倾斜角为 ．
4．椭圆 的焦距为 ．
5．经过点 且与直线 平行的直线方程是 ．
6．当 时，直线 必过定点 ．
7．已知点 和 在直线 的两侧，则实数 的取值范若围是 ．
8．以点 为圆心且与直线 相切的圆的方程为 ．
9．直线 被圆 截得的弦长为等于 ．
10．已知 为椭圆 的左右焦点，弦 过 ,则 的周长为 ．
11．已知圆 经过椭圆 的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率 ．
12．抛物线 上的点 到焦点 的距离为5， 为坐标原点，则 的面积为 ．
13．若实 数 满足 ，则 的取值范围是 ．
14．过椭圆 的左顶点A的斜率为 的直线交椭圆 于另一点 ，且点 在 轴上的射影为右焦点 ,若 ，则椭圆的离心率 的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分
15．（本题满分14分）已知命题 ；命题 关于 的方程 在实数集内没 有解；若 和 都是真命题,求 的取值范围.
16．（本题满分14分）已知三点 、 （－6，0）、 （6，0）.
（Ⅰ）求以 、 为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、 、 关于直线y＝x的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.
17．（本题满分15分）已知点 ，直线 .求：
(1)过点A与 垂直的直线方程；
(2)求过点A的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积的最小值及此时的直线方程．
18．（本题满分15分）投资生产A产品时，每生产100t需要奖金200万元，需场地2002，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100需要资金300万元，需场地1002，可获利润200万元，现某单位可使用资金1400万元，场地900 2，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
19．（本题满分16分）如图，圆弧BCD的圆心P在y轴上，直线AB切圆弧于点B，若A（-3，0），
C（0，2+1），D（1，0）.
（1）求曲线ABCD的方程；
（2）求曲线ABCD和 x轴围成的图形面积 .
20．（本题满分16分）已知椭圆 ,过点 作直线 与椭圆交于 , 两点．
⑴若点 平分线段 ，试求直线 的方程；
⑵设与满足⑴中条件的直线 平行的直线与椭圆交于 两点， 与椭圆交于点 ， 与椭圆交于点 ，求证： ∥
请将19、20题做在反面
高二数学期中试卷答案
1. 若 ，则 2.-1 3. 4.2 5. 6.（1,1） 7. 8. 9. 10. 811. 12.2 13. 14.
15. 解： , 或 .故命题p为真命题时, 或 .又命题q：方程 在实数集内没解, , .故命题q为真命题时 .
= . 的取值范围是 。
16．解：（1）由题意，可设所求椭圆的 标准方程为 (a>b>0),其半焦距c=6.
2a=PF1+PF2= + = .
∴a=3 ,b2=a2-c2=45-36=9.
∴所求椭圆的标准方程为 .
(2)点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为P′(2,5)、F1′（0，-6）、F2′(0,6).
设所求双曲线的标准方程为
(a1>0,b1>0).
由题意知，半焦距c1=6,
2a1=P′F1′-P′F2′= - = .
∴a1= ,b12=c12-a12=36-20 =16.
∴所求双曲线的标准方程为 .
17．解: (1)直线 的斜率为 .
所以所求直线方程为: ,即 .
(2)设过 点的直线方程为: ,则与 轴正半轴交点的坐标为 与 轴正半轴交点的坐标为 .
根据题意有 解得 .
此时,所求三角形的面积为: .
又 .
所以三角形面积的最小值为: =12.
此时 .此时直线的方程为: .
18．解： 设生产A产品 百吨，生产B产品 百米，利润为 百万元，则约束条件为
目标函数为
作出可行域（如图），将目标函数 变形为 ，这是斜率为 ，随 变化的一族直线， 是直线在 轴上的截距，当 最大时 最大，但直线要与可行域相交。
由如图知，使 取得最大值的 是两直线 与 的交点 ，此时 ，
答：生产A产品325t，生产B产品250时，获利最大，且最大利润为1475万元。
19．（1）设圆的方程为：x2 +（y-b）2=r2，将C、D的坐标代入，得
（2+1-b）2=1+ b2，解得b=1，r2=2，
所以圆的方程为x2 +（y-1）2=2.
又设lAB：y=k（x+3），则3k-1k2+1=2，k2-6k-1=0 ，k=1或k=-17（舍去），
∴lAB：x- y +3=0.
lPB：x +y- 1=0，所以得点B（- 1，2）.
所以曲线ABCD的方程为：
x- y +3=0（-3≤x≤- 1）及x2 +（y-1）2=2（-1＜x≤2且0≤y≤2+1）.
（2）∵kPB= kPD =- 1，∴B、P、D三点共线，即BCD?为半圆，
∴曲线ABCD和x轴围成的图形面积= 12×4×2+π= 4+π.
解：⑴ ，则有
① ②
①－②得 ，
即 ，得
故直线 的方程为 ，即
⑵设 ，且 ，
则有 ，即 ，
将点 的坐标分别代入椭圆方程：
① ②
②× ①得
易知 ，故约去 得 ③
同理有 ④
由④－③得
由已知 斜率为 ，有 ，
得 ，即 ，即 ，所以 ∥