逍遥学能 2016-04-10 09:16
向量的概念:
在数学当中,我们把这种既有大小又有方向的量统称为向量。
几何表示:
向量的数乘的定义:
我们规定实数λ与向量的积是一个向量,记作λ
;
向量的数乘的长度和方向规定如下:
(1);
(2)当λ>0时,λ的方向与
的方向相同;当λ<0时,λ
的方向与
的方向相反;当λ=0时,
;注意:λ
≠0
数乘运算的坐标表示:
设,则
。
实数与向量积的运算律:
(1);
(2);
(3)。
向量数乘运算的理解:
①向量数乘运算结果仍然是向量.
②实数与向量的积的特殊情况:
③实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,比如无意义。
④由向量数乘的概念可知其几何意义,可以把向量a的长度扩大(当时),也可以缩小(当
时),同时,我们可以不改变向量a的方向
,也可以改变向量a的方向(当λ<0时)。
两个向量的夹角的定义:
对于非零向量,
,作
称为向量
,
的夹角,当
=0时,
,
同向,当
=π时,
,
反向,
当时,
垂直。
两个向量数量积的含义:
如果两个非零向量,
,它们的夹角为
,我们把数量
叫做
与
的数量积(或内积或点积),记作:
,即
。
叫
在
上的投影。
规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。
两个向量数量积的几何意义:
数量积等于
的模
与
在
上的投影
的乘积。
向量数量积的性质:
设两个非零向量
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)当,
同向时,
;当
与
反向时,
;当
为锐角时,
为正且
,
不同向,
;当
为钝角时,
为负且
,
不反向,
。