等比数列求和公式

等比数列这个名词是我们在数学中经常会用到的一个名词，我们在初中的时候就开始学习等比数列，但是在升入高中以后可能还是对这一个难题束手无策，在这里，小编就要教教大家如何用等比数列求和，攻克这一个数学难题！

一．等比数列求和的教学基础

1.知识结构

先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前n项.

2.重点、难点分析

教学重点、难点是等比数列前 项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前n项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前n项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意 q=1和q=\\1两种情况.

3.学习建议

①本节内容分为两课时，一节为等比数列前 项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前 项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.

②等比数列前n项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论

③等比数列前n项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣

④编拟例题时要全面，不要忽略 的情况.

⑤通项公式与前n项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大

⑥补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.

二、等比数列求和公式

一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，且数列中任何项都不为0，

即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)， 这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。

如： 2、4、8、16......2^10 就是一个等比数列，其公比为2， 可写为 an=2×2^(n-1） 通项公式 an=a1×q^(n-1)；

1.通项公式与推广式

推广式：an=am×q^(n-m) [^的意思为q的（n-m）次方]；

2.求和公式

Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) S∞=a1/(1-q) （n-> ∞）（|q|<1） (q为公比，n为项数）


3.等比数列求和公式推导

①Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

②q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1)

③Sn-q*Sn=a1-a(n+1)

④(1-q)Sn=a1-a1*q^n

⑤Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)

⑥Sn=(a1-an*q)/(1-q)

⑦Sn=a1(1-q^n)/(1-q)


4、性质 简介

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；    等比数列的性质

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；

④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G ≠ 0）；

⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零


三．学习等比数列的方法

1知识与技能目标

理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．

2.过程与方法目标 

通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．

3.情感、态度与价值目标

通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.

4..教学重点、难点

①重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． 突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即一是知识技能线：问题情境→公 式推导→公式运用；二是过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想；三是能力线：观察能力→初步解决问题能力

.②难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.

学习等比数列其实也就是这么简单，要把握好他的重点和难点，学会运用平时在课堂上所学习的知识点，再加上多做些题，熟练地记住等比数列的求和公式，通过多做题再来一遍一遍的回顾这些知识点，小编相信，学习等比数列对你来说将不再是难事！

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