两条直线的位置关系及其判定

一. 教学内容：两条直线的位置关系及其判定

二. 重点难点：

1. 两条直线的位置关系

（1）相交直线 有且仅有一个公共点

（2）平行直线 在同一平面内，无公共点

（3）异面直线 不同在任何一个平面内，无公共点

2. 平行公理

3. 平行的判定

（法一）平行公理

（法二）中位线

（法三）平行四边形

4 高中化学. 异面的判定

反证法

【典型例题

（一）平行直线

[例1] 如图，正方体 ，E、F、G、H、M、N为各棱中点，求证：EFGHMN为正六边形。

证：显然EF=FG=GH=HM=MN=NE

E、F为中点，EF//BD

∴ EF//NG 确定平面 与 有三个不在同一条直线上三点E、F、G

∴ 重合 ∴ E、F、G、H、N五点共面

同理E、F、G、H、M、N六点共面

且EF//MH、FG//NM、EN//GH

∴ EFGHMN是正六边形

[例2] 如图，E、F、G、H、M、N为四面体ABCD各棱中点，求证：EF、GH、MN三条线段交于一点且两两平分。

证明： EMFN

∴ EF、MN互相平分 ∴ EF、GH、MN三条线交于一点且互相平分

（二）异面直线证明

[例1] ，C、 。求证：

（1）AC、BD成异面直线；

（2）AD、BC为异面直线。

证：

（1）假设AC、BD非异面直线 则存在平面 过AC、BD

即：AC、BD

∵ A、B ，C、D ∴ 、 与已知矛盾

∴ 假设不成立 ∴ AC、BD为异面直线

[例2] 不共面直线 ，求证：MN、PQ为异面直线。

证：假设MN、PQ为共面直线 ∴ 存在平面 ，过MN、PQ

∴ MN、PQ ∴

又 ∵ ， 即

（三）异面直线判断

[例1] 如图正方体 成异面的直线的棱有多少条？

（2）与AB成异面直线的棱有多少条？

（3）与BD成异面直线的棱有多少条？

（4）正方体12条棱中异面直线共有多少对？

解：（1）6条：

（4）24对：与AB异面的共4对，12条棱。

∴ 48对 每一对数两遍 ∴

[例2] 如图，空间四边形ABCD中，G、E AD。图中9条线中有异面直线多少对？

解：16对：

AB与CD、AB与EF、AB与EH、AB与GH；

AB与GF、BC与AD、CD与EF、CD与EH；

CD与FG、CD与GH、BD与EF、BD与EH；

BD与GF、BD与GH、EH与FG、EF与GH。

【模拟】（答题时间：60分钟）

一. 选择：

1. 异面，则 的关系为（ ）

A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上均有可能

2. 三个角为直角的四边形为（ ）

A. 一定为矩形 B. 一定为空间四边形

C. 以上均有可能 D. 以上均不正确

3. AB、CD分别是两条异面上线段，M、N分别是它的中点，则有（ ）

A.

C. 与4. 分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）

A. 平行或相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 均有可能

5. 同时与 相交

B. 至少与 中一条相交

D. 与

【试题答案】

1. D 2. C 3. B 4. B 5. B

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