逍遥学能 2012-12-23 14:09
一. 教学内容：直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角
二. 教学重、难点：
1. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
2. 掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法，并会计算所求角的大小。
【典型例题
[例1] 如图所示，在棱长为 的正方体 中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。
（1）求二面角 的大小；
（2）M为棱 的值为多少时，能使
解：（1）在底面AC中 ∵ AC⊥BD，EF//AC
∴ BG⊥EF，连结B1G 又 ∵ B1B⊥底面AC ∴ B1G⊥EF
∴ 二面角 的正切值为
∴ 二面角 的大小为（2）当 时能使证明如下：∵
而∴ ∴ 。求证：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。
证明：连结AC、BD交于O，连结OM、ON、PM、MC
则NO//PA，又PA⊥平面ABCD
∴ NO⊥平面ABCD ∴ NO⊥CD，又MO⊥CD
∴ CD⊥平面MON ∴ CD⊥MN
在 中， ∴ PA=AD
又 ∵ AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM ∴ ∴ PM=MC ∵ N为PC的中点 ∴ MN⊥PC
又 ，AD=BC= ，将其沿对角线BD折成直二面角。
（1）证明AB⊥平面BCD；
（2）证明平面ACD⊥平面ABD；
（3）求二面角 的大小。
解析：（1）证明：在
∴ ∴ 又 ∵ 二面角 为直二面角， 平面ABD，DB=平面 平面BDC
∴ AB⊥平面BDC
（2）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ DC⊥BD ∵ AB⊥平面BDC，AB 平面ABD
∴ 平面ABD⊥平面BDC
又 ∵ BD=平面 平面BDC，DC 平面BDC，DC⊥平面ABD
又 ∵ DC 平面ADC ∴ 平面ADC⊥平面ABD
（3）作BQ⊥CE于Q，由平面几何，得
连结AQ，由三垂线定理，AQ⊥CE ∴ 是二面角 的平面角
在 中，
∴ 即二面角 的大小为（1）AE与CF所成的角；
（2）CF与平面BCD所成的角。
解：（1）如图，连结DE，取ED的中点K，连结FK、CK
∵ F是AD的中点
∴ AE//FK 则设正四面体棱长为 ，则可得在 中，∴在 中，
∴ ，即异面直线AE和CF所成角为
（2）在正四面体ABCD中，∵ 各棱长都相等，E是BC的中点
∴ BC⊥AE，BC⊥DE ∴ BC⊥面AED ∴ 面ADE⊥面BCD，交线为DE
过A作AO⊥DE于O，则AO⊥面BCD
过F作FH⊥DE于H，则FH⊥面BCD，连结CH
∴ 为CF与面BCD所成的角
∵ ∴ 故CF与面BCD所成的角为
[例5] 在三棱锥 中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB= ，（1）求证：SC⊥平面BDE；
（2）求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小。
解：（1）证明：∵ SA⊥平面ABC，AB、AC、BD 平面ABC
∴ SA⊥AB、SA⊥AC、SA⊥BD ∴
∵ 又 DE⊥SC ∴ SC⊥平面BDE
（2）由（1）的结论及∴ 由AB⊥BC，得
在
∴
[例6] 如图所示，矩形ABCD中，PD⊥平面ABCD，若PB=2，PB与平面PCD所成的角为 角。
（1）求CD的长；
（2）求PB与CD所成的角；
（3）求二面角 的余弦值。
解：（1）∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥BC 又 BC⊥DC
∴ BC⊥平面PDC ∴ 为PB与平面PCD所成的角，即同理， 即为PB与平面ABD所成的角
∴ 在 中，
在 中，<2" style='width:96pt; > ∴ CD=1
（2）∵ AB//CD ∴ PB与CD所成的角即为PB与AB所成的角，∵ PD⊥平面ABCD，AD⊥AB ∴ PA⊥AB
在（3）由点C向BD作垂线，垂足为E，由点E向PB作垂线，垂足为F，连结CF
∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥CE 又 CE⊥BD ∴ CE⊥平面PBD
CF为平面PBD的斜线，由于EF⊥PB ∴ PB⊥CF
∵ 为二面角<7" > 的平面角
在 中，<9" style='width:48pt; > ，DC=1，BD=∴ CE=在 ∴
∴ 二面角 的余弦值为 中，（1）证明 ；
（2）AE等于何值时，二面角
解：（1）证明：∵ AD=AA1 ∴ 四边形ADD1A1为正方形
故 又 ∴ AB⊥平面AA1D1D 又 平面AA1D1D ∴ AB⊥A1D
又 平面∴ ∴
（2）过D作DH⊥CE于H，连结D1H
由于D1D⊥平面ABCD，EC 平面ABCD ∴ 故 平面 ，则∴ 的平面角
设 在 中，∵ ∵ 在 中，
∴ 在 中， 中，
在 中，
∴
∴ AE 的大小为
【模拟】
一. 选择题：
1. 在正方形 中，E、F分别是 、A. AB⊥平面EFB B. AD⊥平面EFB
C. BF⊥平面AEF D. BD⊥平面AEF
2. 空间四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH为（ ）
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 不能确定
3. 已知直线 ，那么必定有（ ）
A. B. C. 且
4. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）
A. C.
5. 在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将A. B. C.
6. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 A. B. D. ，A. C.
8. 如图，在正三棱柱 ，则A. B. C.
二. 解答题：
1. 在四面体 中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B?DAP?DC的大小。
2. 如图甲，在直角梯形PDCB中，PD//CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC= 角，设E、F分别为AB、PD的中点。
（1）求证：AF//平面PEC；
（2）求二面角 的大小。
3. 如图，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=（1）求证： ；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。
【试题答案】
一.
1. A
解析：由 ⊥面BEF
2. C
解析：根据三角形中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，又 ∵ AC⊥BD，∴ EF⊥FG，∴ 四边形EFGH为矩形。
3. A
解析：由已知4. C
解析：如图， 为侧棱与底面所成的角，∵ ，PA=1，∴
5. A
解析：如图， 为BG与IH所成的角为
6. C
解析：过C作平面PAB的垂线，则垂足O在设PC= 在 中，
∴
7. D
解析：不妨设PM=PN=
∴
MN=
∴
8. D
解析：本题考查直线与平面所成的角，如图，E、O为B、D在平面A1C上的射影，则 即为所求。易知 ，AD= ，则
二.
1. 解析：过点B作BE⊥AC于E，过E作EF⊥PA于F，连结BF
∵ PC⊥平面ABC ∴ BE⊥平面PAC ∴ BE⊥PA
∴ 设PC=1，则AB=BC=CA=PC=1 ∴ E为AC的中点
∴
∴
∴ 所求二面角的大小为
2. 解析：（1）证明：取PC的中点，连结FG、EG，则FG//CD，且∵ AE//CD，且 ∴
从而四边形AEGF为平行四边形 ∴ AF//EG ∵ ∴ AF//平面PEC
（2）∵ CD⊥平面PAD ∴ 平面PAD⊥平面ABCD
∵ PA=AD，∴ PA⊥BC ∵ BC&perp 高一;AB ∴ BC⊥平面PAB ∴ BC⊥PB
∴ 在∴ 二面角 大小为3. 解析：（1）证法一：如图，∵ 底面ABCD是正方形，∴ BC⊥DC
∵ SD⊥底面ABCD
∴ DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得BC⊥SC
证法二：如图所示
∵ 底面ABCD是正方形 ∴ BC⊥CD ∵ SD⊥底面ABCD ∴ SD⊥BC
又 （2）一：∵ SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形
∴ 可以把四棱锥S?DABCD补形为长方体 ，如图所示，面ASD与面BSC所成的二面角就是面 与面∵ SC⊥BC，BC//A1S ∴ SC⊥A1S，又 SD⊥A1S
∴ 为所求二面角的平面角
在∴
方法二：如图所示，过点S作直线 ，∴ 在面ASD上
∵ 底面ABCD为正方形 ∴ ∴ 在面BSC上
∴ 为面ASD与面BSC的交线 ∵ SD⊥AD，BC⊥SC
∴
（3）如图所示，取AB中点P，连结MP、DP
在 中，由中位线定理得MP//SB ∴ ∵
∴ 在∴ 异面直线DM与SB所成的角为