初中数学知识点??不等式：基本不等式的证明

　　*：√表示根号，^表示指数

　　如果a、b都为实数，那么a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。

　　证明如下：

　　∵（a-b）^2≥0

　　∴a^2；+b^2-2ab≥0

　　∴a^2；+b^2≥2ab

　　如果a、b、c都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc，当且仅当a=b=c时等号成立。

　　如果a、b都是正数，那么（a+b）/2≥√ab，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。）

　　几何证明：

　　在直角三角形中，∠BAC为直角点D为BC的中点，AE为高，设BE=a，EC=b

　　易证：ΔABE∽ΔCAE

　　∴a/AE=AE/b

　　即，AE=√（ab）①

　　又由于三角形中斜边大于直角边，

　　∴AD>AE②

　　∵AD=1/2（a+b）③

　　联合①②③得，

　　1/2（a+b）>√（ab）

　　来源：高分网

 

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