数学概念中“角”之关联与应用

作者：佚名

　　

　　从角的历史来看，其核心作用在于描述方向的改变.因此，凡是与方向以及方向改变有关的内容都与角相关联.

　　

　　比如“平移与旋转”，所谓“平移”就是物体沿着直线运动，不改变方向.这里所说的不改变方向可以从两个方面理解，一是物体上的同一个点在运动过程中永远在同一条直线上，不改变方向；二是物体上两个不同的点分别沿着两条直线运动，这样的两条直线方向是一致的，也即是平行的.“旋转”是一种物体在运动过程中，方向不断改变的运动.所谓方向不断改变的含义是物体上的同一个点在任意两个不同时刻，在旋转一周之内其运动方向都不一样.数学中描述这种方向的改变通常依赖的是“圆心角”或切线的斜率，这些概念都是与角密切相关的.由此进一步说明了角的核心作用在于描述方向的改变.旋转作为方向不断改变的一种运动，其特殊性在于方向改变的均匀性.这种均匀性表现为物体上一个点如果转过的弧长相同，那么对应的圆心角也一定是相同的.

　　

　　由此可见，“平移与旋转”这一课程内容，与角的认识密不可分.在教学中应当充分认识到这一点，将方向与角的相关联系融入到教学中，使得学生逐步熟悉角这一概念用于描述方向的重要作用.类似于此，与方向和角有关的内容，还有方向与位置、圆的认识、钟表的认识、平行与相交、多边形内角和等.从度量的角度说，方向还可以通过线段长度的比来确定.因此，角与比也是密不可分的.下面通过例子说明这些关联性.

　　

　　一、折线统计图与角

　　

　　“折线统计图”通常被认为是描述发展趋势的.这种说法有一定道理，但并不完全准确.因为“趋势”指的是将来会怎么样，是一种主观的预测.影响这种预测的因素根据实际问题的不同，差异是很大的.严格意义上来说，从折线统计图上可以看到从过去到现在的发展状况，至于未来的发展趋势，需要具体问题具体分析.比如，如果图1的横轴表示时间，纵轴表示气温，那么从早晨到中午是上升的趋势，由此就不能说往后气温还会继续上升.

　　

　　这里主要想说明折线统计图与角的联系.从图1上的折线可以看出，总体是上升的，但上升的“坡度”是有变化的.比如，从O到A上升的坡度就小于从A到B的上升坡度；从B到C就没有上升；从C到D与开始从O到A的上升坡度是一样的.从数学的意义看，决定这种“坡度”的因素是什么呢？

　　

　　从O到B在A点出现了“拐弯”，也就是出现了“角”，这就是《几何原本》英译本中说的“倾斜”.为什么会出现角，原因就是从A到B与从O到A相比，方向发生了改变.换一个说法，就是线段OA和线段AB各自所在直线的方向不同了.这种方向的不同在数学中通常是用水平方向（横轴）作为比较的标准.从图1不难看出，线段OA与水平方向的夹角∠AOE,要小于线段AB与水平方向的夹角∠BAF.所以方向的改变反映出的是角的大小的改变，又一次说明了角用于表达方向的意义.

　　

　　另外从图1看到，在三角形AOE中，线段AE与OE的比是1∶2；在三角形ABF中，类似的比是3∶2.所以角的变化还与相应线段长度的比有关，中学将要学习的三角函数和直线的斜率就是由此产生的.上面的比值1/2和3/2分别叫做线段OA和线段AB所在直线的斜率，即倾斜的程度.也就是直线与横轴向右的方向夹角的正切.图1中BC线段的方向与水平方向一致，所以斜率为0，意味着没有变化；CD的斜率是2/4=1/2，与OA的斜率相同，说明与OA方向一致.如果把线段OA和CD分别延长，就会发现这两条直线平行.所以决定折线统计图上升坡度的因素是角.

　　

　　折线统计图的教学不能仅限于所谓的实际意义方面，还应当把角的理解融入进去，使得这一内容具有“数学味”.这样不仅能够加深对角相关知识的理解，还能提升学生说理的能力，从知识和能力方面为今后的学习奠定基础.

　　

　　二、速度与角

　　

　　与运动有关的问题通常需要研究运动的时间、距离和速度三者之间的关系.对于运动过程中速度不变的运动叫做匀速运动，速度发生变化的运动叫做变速运动.为了研究的方便，可以画出如下的折线图（见图2）.

　　

　　在图2中，假设某点从O点经A、B、C点向D点运动，横轴表示运动经过的时间.从O点到A点的运动时间与从A点到B点的运动时间是相同的（因为OE=AF），但从图2中明显看出运动距离EA和FB是不一样的.相同时间运动距离不同，说明运动速度不同.在图2中显示出的就是EA和FB与水平方向的夹角∠AOE和∠BAF不同.从B点到C点和从C点到D点运动时间和运动距离都是相同的，说明速度没有发生变化，图2中显示出的是∠CBG和∠DCI相同.因此，从B到D就是匀速运动.

　　

　　如果用这样的折线图研究距离、速度和时间三者的关系，那么运动速度实际上在图中是由角度决定的.如果运动速度时时刻刻都在变化，可以想象折线就会成为曲线了，因为角度是在不断变化，数学中通常叫做连续变化.对于角度连续变化的曲线，就要利用曲线的“切线”及其斜率来描述速度的变化规律了，微积分中的导数概念就是这样产生的.在微积分中计算曲线弧的长度实际上也是利用这样的方法.

　　

　　三、周角与三角形内角和

　　

　　周长与周角中的“周”意义是相同的，都有“旋转一圈”的意思.用角度理解“旋转一圈”，就是旋转了360度.以长方形为例，在图3长方形ABCD中，想象A点位置有一只蚂蚁向右沿着AB边爬行，到B点拐弯向上沿着BC边继续爬行，到C点拐弯向左沿着CD边爬行，到D点拐弯向下爬行到A点拐弯向右，并停止爬行.这时候，蚂蚁回到出发时的状态，即位于A点，头朝向B点方向.那么蚂蚁爬行的轨迹就形成了这个长方形的“周”，蚂蚁爬行的距离就是长方形的周长.如果把蚂蚁从出发到回来的方向因素考虑进来，那么蚂蚁在爬行过程中拐弯所转过的角度总和一定等于周角360度.比如，蚂蚁爬行到B点时，爬行方向由“向右”转向“向上”，转过的角度是90度；到C点由“向上”转向“向左”，转过的角也是90度.依此类推，蚂蚁从出发到回来，一共拐弯4次，每次转过的角度都是90度，所以蚂蚁爬行一周所转过的角度总和是360度.用类似方法还可以证明“三角形内角和等于180度”.

　　

　　在图4三角形ABC中，假设一只蚂蚁从A点出发，沿着三角形的三条边爬行，最后回到A点位置，并且头的朝向与出发前一致，即朝向B点方向.全程共拐弯三次，虽然对任意三角形不知道每次拐弯转过的角度，但所转过的角度总和应当等于周角即360度，即：∠EBC+∠FCA+∠DAB=360（度）.

　　

　　另外从图4中看出，∠ABE、∠BCF、∠CAD分别都是平角180度.分别去上面蚂蚁拐弯时转过的角，就得到三角形的三个内角.其总和就是：

　　

　　180×3-360=180（度）

　　

　　从这个方法可以联想出任意多边形内角和.比如一个10边形，应当有10条边和10个顶点.假设一只蚂蚁从一个顶点出发，沿着10边形的各条边爬行，最后回到原来状态.由于蚂蚁每次拐弯都是在顶点处，所以一共拐弯10次.拐弯转过角度总和仍然是360度，类似于上面的平角一共10个，所以10边形内角和就是：

　　

　　180×10-360=1440（度）

　　

　　这样的方法与中学乃至大学课程中的向量有关.所谓向量就是不仅考虑量的大小，还考虑量的方向.前面例子中，不仅考虑蚂蚁爬行的距离，还考虑蚂蚁爬行的方向，描述这种方向的方法就是拐弯时转过的角度.这些思想和方法如果在小学阶段有所渗透，无疑对学生今后的学习和发展是有益的.

　　

　　四、形状与角

　　

　　数学中研究平面图形形状首先关心是否完全一样，所谓完全一样就是可以重合，这样的两个图形叫做“全等（Congruent）”.两个图形如果全等，就意味着不仅形状一样，而且大小相同；如果大小不一样，就关心模样“像不像”的问题，所谓“像”的含义好比把一个人的照片放大，虽然人的大小不同，但模样是一样的，这时候叫做“相似（Similar）”.两个图形相似就意味着通过对其中一个图形成比例地放大或缩小，能够使得两者全等，也就是可以重合.

　　

　　两条直线通过移动位置可以完全重合，这说明所有直线都是全等的.同样道理，所有射线也都是全等的.任意两条线段中的一条都可以通过延长或缩短，与另外一条线段重合，这说明任意两条直线段都是相似的，这样的性质曲线就不具备.其原因是直线或直线段的方向是确定的，曲线的方向是不确定的.由此看来，形体的形状与方向是密切相关的，也就是与角是相关联的.

　　

　　不难发现，所有的正方形模样都一样.就是说通过放大或缩小一个正方形，可以与任何一个正方形重合，也就是任意两个正方形都相似.两条边长不同的长方形就不具备这个特征.这是为什么呢？

　　

　　图5中是任意两个大小不同的正方形，有一个共同特征，就是相同位置的线段所形成的角度都是一样的.比如底边与对角线的夹角∠ACD=∠EGH=45度.再看长方形的情况.图6中两个长方形对应的角度∠ACD和∠EGH显然是不相等的.导致它们的模样就不像，也就是不相似.因此，制约两个图形是否相似的因素就是对应的角.两个图形如果相似，那么所有对应位置线段所形成的角度都相等.反过来，两个图形所有对应位置的角度都相等，那么这两个图形相似.如前所说，角的大小可以通过相应边长的比来确定，所以中学数学中的三角函数与“相似三角形对应边成比例”都与此相关.

　　

　　在数学中所说的正多边形，当边数相同的时候，一定是相似的.所以正多边形中的“正（Regular）”，其含义是形状的确定性或规范性.类似具有形状的确定性和规范性的图形还有圆、正方体、球等等.

　　

　　应当承认，在小学数学课程内容中，关于角的内容的系统性相对比较薄弱.这种薄弱主要反映在出现频率少和对相关联的知识认识的不足.导致的结果是小学阶段的学生对角很不熟悉，进入中学学习诸如平面图形的关系、三角函数、极坐标、向量以及物理中的角速度、变速运动、力的分解等内容时，都会感觉到生疏困难.以上内容旨在说明在小学数学的课程与教学中应当加强对角及其相关知识系统性的认识。（来源：中国教育文摘）
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