数学垂足三角形的性质及证明

作者：江苏省平潮高级中学 徐小建

　　

　　锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质，本文对这两个性质加以证明。

　　

　　性质1锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心。

　　

　　已知：如图1，锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为边BC、AC、AB上的高，O为垂心。

　　

　　求证：点O为垂足△DEF的内心。

　　

　　证明：由已知条件可得D、C、E、O四点共圆，所以2=∠4；同理∠1=∠3，又∠3和∠4都与∠ABC互余，所以∠3=∠4；所以∠1=∠2，EB平分∠FED；同理可得FC、DA分别平分∠EFD与∠FDE。所以点O为△DEF的内心。性质1得证。

　　

　　性质2锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形的周长最短。

　　

　　为了证明性质2，我们先看几个引理：

　　

　　引理1已知：如图2，点E为锐角△ABC的边AC上一点，点E关于AB的对称点为G，关于AC的对称点为H，GE交AB于点P，EH交BC于点Q，GH交AB、BC分别于点F、D，△EMN是过点E的任一异于△DEF的内接三角形。若△DEF的周长记为L1，△EMN的周长记为L2。则有⑴L1=2PQ；⑵L1<L2。

　　

　　证明：⑴连结MG、MH，由已知条件可得，PQ为△EGH的中位线，所以L1=2PQ；

　　

　　⑵由已知条件易得L1=EF+FD+DE=GF+FD+DH=GH，L2=EM+MN+EN=GM+MN+NH>GH，所以L1<L2。

　　

　　注：引理1证明了过三角形边上任一点存在周长最短的内接三角形，且其周长为定值。

　　

　　引理2已知：如图3，若△DEF为锐角△ABC的垂足三角形，则△DEF是过点E的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形。

　　

　　证明：作点E关于AB的对称点为G，关于AC的对称点H，连结FG、DH、CF，由定理1可知，∠1=∠2；由对称性可得，∠3=∠4；再由CF⊥AB于F得，∠2+∠3=∠AFC=90o；所以∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AFC=180o，即点G、F、D在同一直线上；同理可得，点H、D、F在同一直线上。所以，点G、F、D、H在同一直线GH上。所以F、D必为GH与AB、BC的交点。所以，由引理1可知△DEF是过点E的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形。引理2得证。

　　

　　注：引理2证明了垂足三角形是过某一垂足点的周长最短的内接三角形。

　　

　　引理3在同圆或等圆中，相等的圆周（心）角所对的弦相等；在不等圆中，相等的圆周（心）角所对的弦，大圆的弦大于小圆的弦。（证明略）

　　

　　性质2的证明：如图4，△DEF为锐角△ABC的垂足三角形（由引理2可得，△DEF为过点E的周长最短的内接三角形），△D1E1F1是过点E1的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形（E1为AC边上异于点E的点）。以下证明△DEF的周长（记为L1）小于△D1E1F1的周长（记为L2）。

　　

　　作点E关于AB的对称点为G，关于AC的对称点为H，连结GE交AB于点P，连结EH交AC于点Q，连结GH必交AB、BC分别于点F、D（由引理2保证）；作点E1关于AB的对称点为G1，关于AC的对称点为H1，连结G1E1交AB于点P1，连结E1H1交AC于点Q1，连结G1H1必交AB、BC分别于点F1、D1（由引理1保证）；由引理1可得，L1=2PQ，L2=2P1Q1；由对称性可得EP⊥AB于P，EQ⊥BC于Q，所以，点E、P、B、Q在以BE为直径的圆上；同理可得点E1、P1、B、Q1在以BE1为直径的圆上。所以，线段PQ、P1Q1可以分别看以BE、BE1为直径的两不等圆中相等的圆周角∠ABC所对的两条弦。又因为BE是垂线段，所以BE<BE1，由引理3可得PQ<P1Q1，所以L1<L2。性质2得证。
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