高一数学重要知识点总结之幂函数

定义：

　　

　　形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

　　

　　定义域和值域：

　　

　　当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域

　　

　　性质：

　　

　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　

　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　

　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；

　　

　　排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；

　　

　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

　　

　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

　　

　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

　　

　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

　　

　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

　　

　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

　　

　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。

　　

　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

　　

　　可以看到：

　　

　　(1)所有的图形都通过(1，1)这点。

　　

　　(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

　　

　　(3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

　　

　　(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

　　

　　(5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。

　　

　　(6)显然幂函数无界。
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