逍遥学能 2016-01-13 10:36
我市1999年“精品课大奖赛”选择了“分子热运动”这节课作为主讲内容．竞赛中，在讲授关于布朗运动“悬浮颗粒越小，布朗运动越明显，悬浮颗粒越大，布朗运动越不明显以至观察不到”这一特点的原因时，参赛者的处理颇有不同．一种说法认为：悬浮颗粒受到液体分子的撞击作用是不平衡的，颗粒越小，质量越小，惯性越小，运动状态越容易改变，布朗运动明显．反之，颗粒越大，布朗运动越不明显．另一种说法认为：液体分子对悬浮颗粒的碰撞是不平衡的，颗粒越小，周围与其频繁碰撞的液体分子数目就越少，不平衡性越明显，布朗运动越显著．反之，颗粒越大，周围与其不断碰撞的液体分子较多，撞击作用的不平衡性就不明显，趋于平衡，布朗运动就越不明显．前一种说法强调通过颗粒质量的大小对运动状态的影响大小来解释布朗运动的上述特点；后一种说法试图通过颗粒周围与其碰撞的液体分子数目对其撞击不平衡性的影响说明问题．哪一种说法更为科学准确呢？
?布朗运动是一种涨落现象（涨落是指对所研究的某一宏观物理量进行测量时，每一次测得的实际值与平均值的偏差）．布朗颗粒受周围液体分子频繁、杂乱无章的碰撞每秒达1021次，我们只能观察其宏观短时间内的平均运动．若颗粒直径较大，由于液体分子向各个方向运动的几率相等，所以周围液体分子在任何瞬间对颗粒的撞击作用几乎是平衡的．但当颗粒直径为10－4ｃｍ时，任一瞬时颗粒所受少量分子碰撞的合力不再等于零，而是涨落不定．合力的大小和方向不断变化，于是颗粒就不停地做无规则（布朗）运动，布朗运动就很明显．
?我们也可用朗之万法证明布朗颗粒位移的散差（表示涨落值）．设布朗颗粒质量为ｍ，受到的力可理解为，一是流体所施的粘滞阻力－ａｖ（ａ为阻力系数，ｖ为颗粒运动速度）；二是流体分子碰撞的净余力．前者是布朗颗粒运动时受到来自前方液体分子的碰撞而受的阻碍作用；后者相当于布朗颗粒静止时受到的分子碰撞的净余力，它是涨落不定的，但Ｆ（ｔ）＝0．
?我们在水平面的ｘ方向讨论布朗运动．重力和浮力可不考虑，则颗粒运动的方程为：
?ｍｄ2ｘ／ｄｔ2＝－ａｄｘ／ｄｔ＋Ｆｘ（ｔ），（朗之万方程）①
?＋ｘＦ?ｘ（ｔ）．②
因
②式可写成：（ｍ／2）（ｄ／ｄｔ）（ｄｘ2／ｄｔ）－ｍ＝
（ａ／2）（ｄｘ2／ｄｔ）＋ｘＦｘ（ｔ）．③
取平均：④
?因ｘＦｘ（ｔ）＝0，布朗颗粒与周围液体处于热平衡，从能量均分定理知：
?⑤
⑥
⑦
将⑦式代入⑥式得：Ｃ2＝2ｋＴ／ａ．
令ｔ＝0，ｄ／ｄｔ＝0，Ｃ1＝－2ｋＴ／ａ．
将Ｃ1、Ｃ2代入⑦，
＝（2ｍｋＴｅ－ａｔ／ｍ）／ａ2＋2ｋＴｔ／ａ＋Ｃ3．
令ａ／ｍ＝τ，因ｔ＝0，＝0，Ｃ3＝－2ｋＴτ2／ｍ，
所以＝2ｋＴτ2／ｍ［ｔ／τ－（1－ｅ－ｔ／τ）］．
?当ｔ>>τ时，相当于实际观察到的布朗运动：＝2ｋＴτｔ／ｍ＝2ｋＴｔ／ａ．此式说明布朗颗粒位移平方的平均值和绝对温度Ｔ、时间ｔ成正比，与阻力系数ａ成反比．阻力系数越小，在同样情况下，位移平方的平均值变化越大，布朗运动越明显．根据ａ的意义，它与运动的布朗颗粒所受的撞击分子数有正向关系，布朗颗粒运动中受到的分子碰撞越少，ａ越小，布朗运动越明显，反之则不明显．
?综上所述，在发生布朗运动时，引起布朗运动明显与否的主要因素是其周围与其频繁撞击的液体分子数目的多少，而不应过分强调颗粒的质量．我们在教学过程中，千万不能因为第一种说法学生易于接受就只作简单的说明，而应尊重科学，正确引导学生从统计观点入手，对布朗运动的特点作出科学性的正确解释．