逍遥学能 2015-12-31 11:31
作者：南京师范大学附属中学江宁分校刘茂全
天气预报与代数式
用语言表述代数式a-(-b+c)的意义：a与b的相反数与c的和的差．这种代数式意义的表述，不禁让笔者想起了中央电视台的天气预报中的一段专业术语：“西北地区东南部中部偏北地区”，其实指的就是宁夏地区．
中国现代哲学家冯友兰在他的著作《中国哲学简史》中有这样一段论述：语言的作用不在于它的固定含义，而在于它的暗示，引发人去领悟道．一旦语言已经完成它的暗示作用，就应把它忘掉，为什么还要让自己被并非必要的语言所拖累呢？诗的文字和音韵是如此，绘画的线条和颜色也是如此[1]．
数学有其自成系统的语言，精炼、简洁而明确，不必都把它用文字语言去表述，正如不必把一段优美的旋律用生硬的文字语言表述出来，我们可以慢慢地去听，去品，去感受．个中体味，自己最清楚，说出来，便显得苍白无力，词不达意．
子曰得更直接：辞达而已矣．
轮扁之祸
《庄子?外篇》（天道第十三）记录了这样一段对话：
桓公读书于堂上．轮扁斫轮于堂下，释椎凿而上，问桓公曰：“敢问，公之所读者何言邪？”
公曰：“圣人之言也．”
曰：“圣人在乎？”
公曰：“已死矣．”
曰：“然则君之所读者，古人之糟魄已夫！”
桓公曰：“寡人读书，轮人安得议乎！有说则可，无说则死．”
轮扁曰：“臣也以臣之事观之．斫轮，徐则甘而不固，疾则苦而不入．不徐不疾，得之于手而应于心，口不能言，有数存焉于其间．臣不能以喻臣之子，臣之子亦不能受之于臣，是以行年七十而老斫轮．古之人与其不可传也死矣，然则君之所读者，古人之糟魄已夫！”[2]
大意是：
齐桓公在堂上读书．轮扁在堂下砍造车轮，他放下工具走到堂上，问齐桓公说：“请问君王读的是什么书呢？”
齐桓公说：“圣人的言论．”
轮扁问：“那圣人还活着吗？”
齐桓公说：“已经死去了．”
轮扁说：“那么，君王所读的书，乃是古人的糟粕了!”
齐桓公说：“寡人在这里读书，你一个车轮工人怎么能够议论这个呢？说得对了，那还可以；说得不对，就治你死罪．”
轮扁说：“奴才就拿奴才的工作来看：在砍造车轮的时候，榫子做得松了，就会滑利地打进去，但不牢固；榫子做得紧了，就会感到滞涩，而打不进去；既不松，又不紧，把技巧得在手里，应在嘴里说不出来，其中却有一定的分寸．我不能够把它明明白白地告诉给我的儿子，我的儿子也不能够明明白白地接受到我的教法．因此，奴才年纪已经七十岁了，只好老死在砍造车轮的手艺上，古人和他们不可传授的东西，都死去了．那么，君王所读的书，乃是古人的糟粕了！”
数学教学中哪些是“不可传”的数学之“意”呢？我们又该如何处理？
概念教学
什么是代数式？教材一般使用列举法．列出几个代数式，然后，“像这样的式子都是代数式”．对于初一的学生，显然不适合作形式化的定义，这样的处理是合理的．但是，列举法又给学生一些困惑：已经列举出来的代数式代表哪些类型？还有哪些没列举出来的代数式？能否罗列出所有代数式的类型？要回答初一学生提出的这些问题，不是很容易．笔者在教学时加了一句话：代数式就是代表数的式子．也就是说，一个式子是用来表示数的，那么，它就是代数式．否则，就不是．如，“on”，如果表示英文单词，它就不是代数式；如果是两个数o和n的乘积，它就是代数式．这样说，也很容易理解单独一个数也是代数式．
什么是同类项？“所有字母相同，并且相同字母的指数也相同的项”．那么，3x与3y是同类项吗？这是学生课堂上提出的一个问题．学生认为，3x+3y=(x+y)3.似乎也有道理．无奈之下，我脱口而出：可以合并的项就是同类项！说完了又后悔了，这算什么定义？犯了循环定义之大忌，如同说“长了猪毛的动物是猪”一样．但是，这样的说法，是不是更能让学生去体会同类项的“意”呢？
由此可见，有些概念，我们不能过于纠缠于其定义表述是否“严谨”，而应把着力点放在学生对概念内涵的理解上，也就是数学的“意”的体味．
定理法则
定理的证明其作用有时往往不亚于定理内容本身，而法则也有其合理性．但如何证明和理解定理和法则，有不同的方法．帮助学生理解其“意”，是关键所在．
全等判定，为什么没有“SSA”？
对于这个问题，教者往往通过举一个反例说明，简捷而符合逻辑．其实，如果构造出图1，线段AB和∠B大小不变，线段AD绕着点A旋转，通过动画演示可以看到，当AD＞AE（AE为点A到直线BC的垂线段）时，与直线BC交于两点M、N，△ABM和△ABN满足条件“SSA”，但不全等．其本质原因就在于边AD可以绕着点A“旋转”．随着线段AD的大小变化，可以看到，其“旋转”产生了不同的结果．如，当AD=AE时，AD无法“旋转”，与BC只有一个交点，于是“HL”可以作为全等的判定．而当AD≥AE时，线段AD“旋转”与射线BC（不包括点B）只有一个交点，此时“SSA”可以作为全等的判定．而当AD＜AE时，由于线段AD与直线BC没有交点，不能构成三角形，因此，不能形成全等的判定．
通过这个过程，学生不但理解了为什么没有“SSA”的全等判定，而且知道了全等判定“HL”和“SSA”的内在联系，以及“SSA”可以作为全等判定的条件．这一过程，学生不必用文字去表述，达“意”即可．
图1
多边形外角和定理：多边形的外角和为360?
其证明方法有多种，怎样才能理解其本质？不妨把多边形浓缩成一个点，让我们绕着这个点旋转一周，便回到原来的状态，而“旋转一周”之“意”，学生便理解了多边形的外角和为360埃?比唬?獠荒芴娲??淼闹っ鳎?荒茏魑?ㄖ?侄危?由疃远?淼睦斫猓?/SPAN>
负负得正．
这个法则无论是用“反方向运动”，还是用“借进借出”，学生理解起来都很别扭．而形式化的证明更不可能．对于初一学生，更重要的是运算，考虑到学生的“量力性”，不加选择地要求学生知道“为什么”是不合适的．既然如此，何不处理得简单一些？比如“开关”原理，开关两次才能回到原来的状态，学生很容易记住．
需要说明的是，笔者并不崇尚这种并不严谨的教学，而是认为在一定的教学阶段可以采取这种方法，或者作为补充理解的手段．随着学习的进一步深入，往往有必要作数学化解释．
解题教学
数学习题有些可以纯粹模仿，依据某些固定程式，按部就班就能解答．如，合并同类项、解一元一次方程等．而有些习题的解答，似乎都有规律可循，但却无法程序化．我们常常有这种体会，突然间一种优美的解题方法出来了，连自己也吃惊．至于这种思路怎么产生的，我们自己也说不清，这种数学之“意”，无法直接传授给学生．
在一次数学习题课上，笔者抛出了这样一题：
如图2，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S．则（）
A．S=2B.S=2.4C.S=4D.S与BE长度有关
图2
笔者没有立即“启发”，也没有“循循善诱”地引导学生解题，而是留出了足够的时间让学生去独立思考．并提出了这样几个要求：
1.至少给出一种解法；
2.尽可能多地想出多种解法，并对这些解法进行比较，哪一种解法更简捷？
3.你是如何利用题中信息的？
4.你是怎么想到这些解法的？
在随后进行的交流中，学生先后给出了如下思路：
笔者没有急于引导学生去发现FB∥AC，而是给学生提供更多、更宽泛的发散思维的机会，从而得到了丰富多彩的证明方法．通过比较反思，学生才能更多地体会到数学的“意”，积累更多的解题经验．奇怪的是，发现思路6这一简单证法的，并不是数学学习厉害的，而是一位数学中下水平的同学．通过了解得知，更多的学生在计算面积时按常规思路：直接计算或割补法，发现不便于直接计算，所以选择割补法．出现这一想法，显然是由于大量解题后的经验积累．而想到思路6的同学，并无明显的这种经验积累的痕迹，只是看出图中FB好像和AC平行，发现很容易证得．可见，过多的解题方法的总结，可能在解题时造成先入为主的现象，从而窒息或者窄化数学的“意”．这种现象在另一道习题的解答中也有反映．
如图3，四边形ABCD和EFBG都是矩形，是否存在这样的直线，把这个图形的面积两等分？如果存在，有多少条？
图3
由于刚刚学过矩形，很多学生立即想到矩形的中心对称性质，得到直线MN能把图形面积两等分．同样是一个数学成绩一般的学生不假思索地说：无数条．他的理由是，把一条直线从任意方向平移，把图形面积分割成两部分，这两部分的面积总会有由小到大，由大到小的过程，而这中间必然有相等的可能．这样的直线由于方向可以任意放置，所以有无数条．这样的解答过于直观，貌似不太严密．但这种数学的“意”确实珍贵，值得注意和保护．
数学教学中，我们固然要重视显性的，可表述的数学经验和方法，但也不能忽视不可言传的“意”．而这种数学之“意”的形成一般不是靠教者言传或示范，而是靠学生通过丰富多彩的学习的过程去形成，这样才能到达得“意”而忘言的境界．
正如老子所言：“道可道，非常道”[3]．
参考文献：
1.冯友兰，中国哲学简史，[M].天津社会科学院出版社，2005.10:11.
2.杨柳桥，庄子译注，[M].上海古籍出版社，2006.11:214～215.
3.陈国庆、张爱东译注，道德经，[M].三秦出版社，1995.8:1.