逍遥学能 2015-12-26 09:32
江苏陈德前
数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，教材中没有专门的章节介绍它，而是伴随着基础知识的学习而展开的.在学习中一定要重视对常用数学思想方法的总结与提炼，它们是数学的精髓，是解题的指导思想，更能使人受益终身.《整式的加减》中常用的数学思想方法有：
一、用字母表示数的思想
用字母表示数的思想，也就是代数思想.用字母表示数，用含有字母的式子表示现实生活中的数量关系，使我们从算术跨进了代数的大门，在本章的开头我们又再次感受了这一思想方法.在具体问题中，用字母表示数往往具有以简驭繁、捷足先登之功效.
例1计算2006×20082008-2008×20062006=.
解：设a=2006，b=2008，
则原式=a（10000b+b）-b（10000a+a）=10001ab-10001ab=0.
二、分类讨论思想
课本在进行整式的分类和研究同类项时，多次向我们渗透了分类讨论思想。某些数学问题，涉及到的概念、法则、性质、公式是分类给出的，或在解答过程中，条件或结论不惟一时，会产生几种可能性，就需要分类讨论，从而得出各种情况下的结论.这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想，其作用是考察学生思维的周密性，使其克服思维的片面性，防止漏解.分类必须遵循下列两条原则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）分类要做到不重复、不遗漏.例如，把有理数分为正数和负数两类就错了，错误原因是漏掉了零.
例2比较3a和-3a的大小.
分析：由于题中没有给出a的取值范围，故需分三种情况来进行讨论.
解：（1）当a＞0时，3a＞0，-3a0，∴3a＞-3a；
（2）当a=0时，3a=0，-3a=0，∴3a=-3a；
（3）当a＜0时，3a＜0，-3a＞0，∴3a＜-3a.
三、整体思想
合并同类项的本质就是化分为整，课本在处理许多问题时也都采用了整体思想。整体思想，就是在解决某些数学问题时，不能“一叶障目”，而是有意识地放大问题的“视角”，从大处着眼，由整体入手，通过细心的观察和深入的分析，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握问题，从而在宏观上寻求解决问题途径的一种思维方法.
例3当a=2，b=3时，求代数式2（2a-b）3-（2a-b）2+8（2a-b）的值.
分析：解答时先求出2a-b的值，然后整体代入解起来比较简捷，这里便渗透了整体思想.
解：因为a=2，b=3，所以2a-b=1，原式=2×13-12+8×1=9.
四、逆向思维的思想
去括号与添括号、合并同类项与拆项等，都在向我们渗透一种重要的数学思想方法——逆向思维，它有利于创新能力的培养。
例4．已知x2+x-1＝0，求代数式2x3+4x2+3的值。
解：（逆向应用合并同类项的法则——拆项）
因为x2+x-1＝0，所以2x3+4x2+3=（2x3+2x2-2x）+（2x2+2x-2）+5=2x（x2+x-1）+2（x2+x-1）+5=0+0+5＝5.
点评：若由条件求出x的值，再代入2x3+4x2+3中计算，是不明智的选择.且七年级学
生由x2+x-1＝0求不出x的值.这里将求值式通过拆项转化为含有代数式x2+x-1的形式，再将x2+x-1＝0代入变形后的求值式计算，十分简捷.
五、特殊与一般的辨证思想
“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新
的过程.从“一般到特殊”是解决数学问题的一种思想方法，特殊情形有时掩盖了问题的实质，从一般情形入手，容易发现解题思路.用字母表示数，归纳猜想规律等都是运用了从特殊到一般的思想，而求代数式的值则是典型的从一般到特殊思想的运用.前面的例1是从特殊到一般的例子，下面举一个从一般到特殊的例子.
例5．（2005年山东日照市中考题）已知?1<b<0，0<a<1，那么在代数式a?b、a+b、a+b2、a2+b中，对任意的a、b对应的代数式的值最大的是（）
（A）a+b（B）a?b（C）a+b2（D）a2+b
解析：由?1<b<0，0<a<1可取特殊值a=，b=?，则a?b=1，a+b=0，a+b2=，a2+b=?，显然a?b最大，选A。
六．实验、观察、猜想、论证的思想
实验、观察、猜想、论证是解?数学问题的重要思想方法。实验是基础，在实验中要注意分析和观察规律；观察是关键，在观察中要透过现象看本质，从特殊中找出一般；猜想是核心，会推理判断，能归纳猜想，就能有所发现；论证是结果，是对实验、观察、猜想的科学总结.应用这一思想方法可以解?本章的许多规律探索题。
例6．(2006年云南省中考题)观察图中的（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则m=（用含n的代数式表示）.
解析:本例的解题关键是求出第n个图形中有多少个小圆圈,为此我们在给出的4个图形中探究规律,看看哪些是不变量,哪些是变量,变量的变化规律是什么?在已知的4个图形中,前面的5个圆圈是不变量,变化的是后面的圆圈.它们的数量分别是:第1个图形多出0×3个圆圈,第2个图形多出1×3个圆圈,第3个图形多出2×3个圆圈,第4个图形多出3×3个圆圈,…依此类推,第n个图形多出(n-1)×3个圆圈,故第n个图形中共有5+(n-1)×3(即3n+2)个圆圈,因此应填3n+2.