逍遥学能 2012-12-07 13:36
反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。
要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。
例1. 设a，b，c，d均为正数，求证：下列三个不等式①a＋b＜c＋d，②< > < style='width:116.25pt; > ，③ 。
由不等式③得 高中英语，< style='width:204.75pt;>
因为 ，所以
综合不等式②，得 ，即 ，即 求证： 。
证明：由 知 ，则 ，即
从而 ，与已知矛盾。
∴假设不成立，从而
同理，可证 。
例3. 若 。
因为 所以
又 ，即 ，即 。
例4. 设a，b，c均为小于1的正数，求证： ， 不能同时大于 。
证明：假设 同时大于 ，即 ， ，可得 ， ，所以假设不成立。
∴原结论成立。
例5. 若 ，
假设有
同理，
①＋②＋③，得 ， 不能同时大于1。