高二数学知识点总结之勾股定理公式及定理讲解

作者：佚名

　　

　　一、经典证明方法细讲

　　

　　方法一:

　　

　　作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

　　

　　∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

　　

　　∴∠EGF=∠BED,

　　

　　∵∠EGF+∠GEF=90°,

　　

　　∴∠BED+∠GEF=90°,

　　

　　∴∠BEG=180°—90°=90°

　　

　　又∵AB=BE=EG=GA=c,

　　

　　∴ABEG是一个边长为c的正方形.

　　

　　∴∠ABC+∠CBE=90°

　　

　　∵RtΔABC≌RtΔEBD,

　　

　　∴∠ABC=∠EBD.

　　

　　∴∠EBD+∠CBE=90°

　　

　　即∠CBD=90°

　　

　　又∵∠BDE=90°,∠BCP=90°,

　　

　　BC=BD=a.

　　

　　∴BDPC是一个边长为a的正方形.

　　

　　同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

　　

　　设多边形GHCBE的面积为S,则

　　

　　,

　　

　　∴BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出:a^2+b^2=c^2

　　

　　方法二

　　

　　作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.

　　

　　分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,

　　

　　∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,

　　

　　∴FI=a,

　　

　　∴G,I,J在同一直线上,

　　

　　∵CJ=CF=a,CB=CD=c,

　　

　　∠CJB=∠CFD=90°,

　　

　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD,

　　

　　同理,RtΔABG≌RtΔADE,

　　

　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

　　

　　∴∠ABG=∠BCJ,

　　

　　∵∠BCJ+∠CBJ=90°,

　　

　　∴∠ABG+∠CBJ=90°,

　　

　　∵∠ABC=90°,

　　

　　∴G,B,I,J在同一直线上,

　　

　　所以a^2+b^2=c^2

　　

　　二、勾股数的相关介绍

　　

　　①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。

　　

　　②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。

　　

　　③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。]在一个三角形中,两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形。

　　

　　三、勾股定理的命题方向

　　

　　命题1:以已知线段为边,求作一等边三角形。

　　

　　命题2:求以已知点为端点,作一线段与已知线段相等。

　　

　　命题3:已知大小两线段,求在大线段上截取一线段与小线段相等。

　　

　　命题4:两三角形的两边及其夹角对应相等,则这两个三角形全等。

　　

　　命题5:等腰三角形两底角相等。
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