浙江省宁波市八校2013-2014学年高二上学期期末联考（数学理）

宁波市八校联考10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是两个命题，若“”是假命题，则 A．都是假命题 B．都是真命题C．是假命题是真命题 D．是真命题是假命题2.已知水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么四边形的面积为A． B．1 C. D.3.“ ”是“曲线表示椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件与之间的距离为 A． B． C. 1 D. 5.已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为，那么它的体积为A． B． C. D. 6.如图，为正四面体，于点，点均在平面外，且在平面的同一侧，线段 的中点为,则直线与平面所成角的正弦值为 A． B． C. D. 7.过双曲线焦点且与实轴垂直的弦的长等于焦点到渐近线的距离，则双曲线的离心率为A． B．2 C. D.8.将半径分别为2和1的两个球完全装入底面边长为4的正四棱柱容器中，则该容器的高至少为A． B． C.D．和，其中, ，它们所表示的曲线可能是下列图象中的A． B． C．D．10．抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为 A． B． C．D．7个小题，每小题4分，共28分.11.已知，那么命题“若中至少有一个不为0，则.”的逆否命题是 .12．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的为13．和它关于直线的 对称曲线总有四条公切线，则的取值范围____________．14．是椭圆的焦点，是椭圆是椭圆上任一点，过引的外角平分线的垂线，垂足，则的为．15．与曲线恰有两个不同的的交点，则____________．16．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形若双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．．实施变换后，对应点为，给出以下命题：①圆上任意一点实施变换后，对应点的轨迹仍是圆；②若直线上每一点实施变换后，对应点的轨迹方程仍是则；③椭圆上每一点实施变换后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线：上每一点实施变换后，对应点的轨迹是曲线，是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，则的最小值为.以上正确命题的序号是 （写出全部正确命题的序号）.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本题满分14分）对直线和平面，在的前提下，给出关系：①∥，②，③.以其中的两个关系作为条件，另一个关系作为结论可构造三个不同的命题，分别记为命题1、命题2、命题3.（Ⅰ）写出上述三个命题，并判断它们的真假；（Ⅱ）选择（Ⅰ）中的一个真命题，根据题意画出图形，加以证明.19.（本题满分14分）gkstk如图，斜三棱柱的侧棱长为，底面是边长为1的等边三角形，，分别是的中点. （Ⅰ）求此棱柱的表面积和体积；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值.20.（本题满分14分）已知平面内的动点到两定点、的距离之比为.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）过点作直线，与点的轨迹交于不同两点、，为坐标原点，求 的面积的最大值.21.（本题满分15分）如图，矩形所在的半平面和直角梯形所在的半平面成的二面角，∥,,,,,.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为.22.（本题满分15分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线，分别交椭圆于不同两点、.（Ⅰ）求证：直线的斜率为一定值；（Ⅱ）若直线与轴的交点满足：，求直线的方程；（Ⅲ）若在椭圆上存在关于直线对称的两点，求直线在轴上截距的取值范围.gkstk宁波市 八校联考高二数学（理）答案一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共个小题，每小题4分，共分.答案填在. 11. 若,则都为0. 12. 13. 14. 32 15. 16. 17. ①③④ 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（Ⅰ）命题1：若∥，，则.真命题命题2：若∥，，则.假命题命题3：若，，则∥.真命题 ………………………………6分（Ⅱ）下面证明命题1.示意图如右 …………………………………………………………………………8分过直线作平面，使与相交，设交线为,…10分因为∥，所以∥，①…………………………12分因为，，所以,② ………………13分由①、②知，，即.………………………14分（证明命题3的参照评分）19. （Ⅰ）过作平面ABC，垂足为，过作于,连,则,作于,连，则，又，所以，，所以，从而在平分线上，…………………………………………………………2分由于为正三角形，所以 ，所以.……………………………………………………3分在中，计算得==1,在中,计算得,在中,计算得,棱柱的表面积，……………………5分体积. ………………………………………7分（Ⅱ）因为，所以，解得， ………………………………………………………………………10分又，所以， ………………………………………………13分即异面直线与所成角的余弦值. ………………………………………………14分20.（本题满分14分）（Ⅰ）设则由题设知，即，化简得，，即为所求的点的轨迹方程. ………………………5分（Ⅱ）易知直线斜率存在且不为零，设直线方程为由消去得，，由得，解得，所以. ……………………………………………………………………8分设，则，，， …………………………11分令，考察函数，，，，即时取等号，此时,即的面积的最大值为1. ………………………………………14分21.（本题满分15分）（Ⅰ）因为∥,平面，所以∥平面，同理∥平面，又因为,所以平面∥平面,而平面，所以∥平面. ………………………………………5分（Ⅱ）因为,所以就是二面角的平面角，为， ……………………………………………………………………………………6分 又，所以平面，平面平面,作于，则,…………7分连结，在中由余弦定理求得，易求得，，，，. ……………………………………………8分以为原点,以平行于的直线为轴，以直线为 轴，建立如图空间直角坐标系，则,,,,设，则,，设平面的一个法向量为，，则由 得，，取得, , …………………………………………10分平面的一个法向量, …………………………………………11分所以，, ………12分为使锐二面角的余弦值为，只需， 解得，此时, …………………………………………………13分即所求的点为线段的靠近端的四分之一分点. …………………………14分22.（本题满分15分）（Ⅰ）设椭圆方程为由所以椭圆方程为． …………………………………………………3分设直线方程为，则直线的方程为，，.…………6分另解：设直线方程为,gkstk由消去得,，设，则，因为直线的倾斜角互补，所以，，，，，解得.所以直线的斜率为一定值.（参照上一解法评分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可设直线方程为，则，设，则由得.由，,解得，所以直线方程为. …………………………………10分（Ⅲ）设为椭圆上关于直线对称的两点，则设中点为,则,由得，又,所以由点在椭圆内知，，，解得，即为直线在轴上截距的取值范围. ………………………………………15分B1CBAC1FEA1yxPQF2F1OA侧视图正视图俯视图221OyxOyxOyxOyx?E2013学年第一 学期DA1C1ABB1HFCFEOZxyG浙江省宁波市八校2013-2014学年高二上学期期末联考（数学理）
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