逍遥学能 2015-09-15 14:02
23、（2013•白银）两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
考点：作图—应用与设计作图．
分析：仔细分析题意，寻求问题的解决方案．
到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．
解答：解：（1）作出线段AB的垂直平分线；
（2）作出角的平分线（2条）；
它们的交点即为所求作的点C（2个）．
点评：本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解．
24、（2013哈尔滨）
如图。在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB和直线N，点A、B、、N均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD是以直线N为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；
(2)请直接写出四边形ABCD的周长．
考点：轴对称图形；勾股定理；网格作图；
分析：（1）根据轴对称图形的性质，利用轴对称的作图方法来作图，（2）利用勾股定理求出AB、BC、CD、AD四条线段的长度，然后求和即可最
解答：(1)正确画图(2)
25、（2013•黔东南州）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：AC是所作⊙O的切线；
（3）若BC= ，sinA= ，求△AOC的面积．
考点：作图—复杂作图；切线的判定．
分析：（1）根据角平分线的作法求出角平分线FC，进而得出⊙O；
（2）根据切线的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；
（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，EO的长，即可得出答案．
解答：（1）解：如图所示：
（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，
∵FC平分∠ACB，
∴OB=OE，
∴AC是所作⊙O的切线；
（3）解：∵sinA= ，∠ABC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠ACB=∠OCB=ACB=30°，
∵BC= ，
∴AC=2 ，BO=tan30°BC= × =1，
∴△AOC的面积为：×AC×OE=×2 ×1= ．
点评：此题主要考查了复杂作图以及切线的判定和锐角三角函数的关系等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．
26、(2013年广东省5分、19)如题19图，已知□ABCD.
(1)作图:延长BC,并在BC的延长线上截取线段CE,使得CE=BC
(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,不连结AE,交CD于点F,求证:△AFD≌△EFC.
解析：
19. (1)如图所示,线段CE为所求;
(2)证明:在□ABCD中,AD∥BC,AD=BC.∴∠CEF=∠DAF
∵CE=BC,∴AD=CE,
又∵∠CFE=∠DFA,∴△AFD≌△EFC.
27、（2013年广州市）已知四边形ABCD是平行四边形（如图9），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A?BD.
（1）利用尺规作出△A?BD.（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设D A? 与BC交于点E，求证：△BA?E≌△DCE.
分析：（1）首先作∠A′BD=∠ABD，然后以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，连接BA′，DA′，即可作出△A′BD．
（2）由四边形ABCD是平行四边形与折叠的性质，易证得：∠BA′D=∠C，A′B=CD，然后由AAS即可判定：△BA′E≌△DCE．
解：（1）如图：①作∠A′BD=∠ABD，
②以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，
③连接BA′，DA′，
则△A′BD即为所求；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠C，
由折叠的性质可得：∠BA′D=∠BAD，A′B=AB，
∴∠BA′D=∠C，A′B=CD，
在△BA′E和△DCE中，
，
∴△BA′E≌△DCE（AAS）．
点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
28、（2013甘肃兰州22）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
考点：作图—应用与设计作图．
分析：根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P．
解答：解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求．
点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹．
29、（2013福省福州4分、8）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（ ）
A．2.5cB．3.0cC．3.5cD．4.0c
考点：平行四边形的判定与性质；作图—复杂作图．
分析：首先根据题意画出图形，知四边形ABCD是平行四边形，则平行四边形ABCD的对角线相等，即AD=BC．再利用刻度尺进行测量即可．
解答：解：如图所示，连接BD、BC、AD．
∵AC=BD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC．
测量可得BC=AD=3.0c，
故选：B．
点评：此题主要考查了复杂作图，关键是正确理解题意，画出图形．
30、（13年山东青岛、15）已知，如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点
求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B、D两点的距离相等
（在题目的原图中完成作图）
结论：
解析：因为点E到B、D两点的距离相等，所以，点E一定在线段BD的垂直平分线上，
首先以D为顶点，DC为边作一个角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分线，即可找到点E．
点E即为所求．
31、（2013•南宁）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（?1，3），B（?1，1），C（?3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．
考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
专题：作图题．
分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
解答：解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示，
∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为 ，
∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（ ）2= ．
点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，还利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质．
32、（2013•衡阳附加题不算分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31k．现要求：在一边长为30k的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母、N、P、Q表示安装点；
（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母、N、P表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．
考点：作图—应用与设计作图．
专题：作图题．
分析：（1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等通过计算看是否适合；
（2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线能辐射的最大直径为31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处．
解答：解：（1）如图1，将正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，
此时，每个小正方形的对角线长为 ，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，
故安装4个这种装置可以达到预设的要求；
（2）（画图正确给1分）
将原正方形分割成如图2中的3个矩形，
使得BE=OD=OC．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，
则AE= ， ，
∴OD= ，
即如此安装三个这个转发装置，也能达到预设要求．
点评：考查应用与设计作图；解决本题的关键是先利用常见图形得到合适的计算方法和思路，然后根据类比方法利用覆盖的最大距离得到相类似的解．