逍遥学能 2015-08-31 19:36
【—公约数的点】辗转相除法是古希腊求两个正整数的最大公约数的，也叫欧几里德算法。
公约数
能够整除一个整数的整数称为其的约数(如5是10的约数);
能够被一个整数整除的整数称为其的倍数(如10是5的倍数);
如果一个数既是数A的约数，又是数B的约数，称为A,B的公约数，A,B的公约数中最大的一个(可以包括AB自身)称为AB的最大公约数[1]
定义
如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。
例： 在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数。
辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f(x, y)表示x，y的最大公约数，取k = x/y，b = x%y，则x = ky + b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y;而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f(x, y)= f(y, x%y)(y > 0)，如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。
例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。
其方法是用较大的数除以较小的数，上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到出现能够整除的两个数，其中较小的数(即除数)就是最大公约数。以求288和123的最大公约数为例，操作如下：
288÷123=2余42
123÷42=2余39
42÷39=1余3
39÷3=13
所以3就是288和123的最大公约数。
其实早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。