逍遥学能 2015-07-22 12:36
天津市第四十二中学 张鼎言
假设ak>α，由上面的递推式，用比较法：
ak+1-α=--α
=-
=-
而α是方程x2+x-1=0的根，
∴ak+1-α=->0
∴ak+1>α
由上数学归纳法可证an>α
分析(3)由(2)an>α，又an>α>β
∴an>β
bn=ln-有意义，同理an-β=-(n≥2)
bn=ln-
=2ln-=2bn-1
b1=ln-=2ln-
=2ln-
=4ln-
Sn=-
=b1g(2n-1)
=(2n+2-4)gln-
注：本题的关键是第(2)问，通过an+1-α，不等式比较法，建立了递推关系。
7. 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=-，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…
(Ⅰ)写出Sn与Sn-1的递推关系式(n2)，并求Sn关于n的表达式；
(Ⅱ)设fn(x)=-xn+1，bn=fn1(p)(p∈R)，求数列{bn}的前n项和Tn。
解(Ⅰ)由已知Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，(n2)。
(n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1)
两边同除以n(n-1)，
-Sn=-Sn-1+1
设cn=-Sn，
cn=cn-1+1，
由S1=a1=-，c1=1
∴cn=1+(n-1)=n
Sn=-
(Ⅱ)fn(x)=-xn+1=-xn+1，f'n(x)=nxn
bn=npn
设Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn (1)
当p=0时，Tn=0
p=1时，
Tn=1+2+…+n=-n(n+1)
pTn=p2+2p3+…+npn+1 (2)
(1)-(2) Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1
∴Tn=---，(p≠0， p≠1)
注：在递推关系中，设cn是关键，从Sn-1→Sn与-→-是同样的递推。在递推中着眼点是关于n的结构上的一致性。
8. 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，n=1，2，3，…
(Ⅰ)求a1,a2；
(Ⅱ)求{an}的通项公式
(Ⅰ)n=1，a1=S1，(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，a1=-；
n=2，S2=a1+a2=-+a2，
S2-1=a2--，
代入(a2--)2-a2(a2--)-a2=0，a2=-，S2=-+-=-；
(Ⅱ)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0，(Sn-1)(Sn-an-1)-an=0，
(Sn-1)(Sn-1-1)-(Sn-Sn-1)=0，Sn?Sn-1-2Sn+1=0
以上是把an转化成Sn，理由是把Sn转换成an走不通，实际上求出Sn，an也可求出。
由S1=-，S2=-，进一步可求出S3=-，猜想Sn=-，用数字归纳法n=2时命题成立，假定Sk=-，
由关于Sn的递推式，
Sk+1=-=-=-，
∴Sn=-，an=-
注：由递推公式求通项，从特殊到一般，先求出n=1，2，3，…归纳假设提出猜想，再去证明猜想。
9. 已知函数f(x)=x-sinx，数列{an}满足：0
证明(Ⅰ)0
(Ⅱ)an+1<-an3
证明(Ⅰ)由已知an+1=f(an)，是以函数形式给出的递推关系，-，
先用数学归纳法证明：0
n=1由已知0
考虑函数f(x)=x-sinx，f'(x)=1-cosx，
∵0
∴f'(x)>0，f(x)↑
f(x)在[0，1]上连续
∴f(0)
∴0
又∵an+1=f(an)=an-sinan，00，
∴an-an+1=sinan>0
∴0
(Ⅱ)要证an+1<-an3，需证-an3-an+1>0，构造函数g(x)=-x3-x+sinx(0
g'(x)=-x2-1+cosx
=-x2-2sin2-
=2[(-)2-(sin-)2]
当0<-<-时，用单位圆易证->sin->0
∴g'(x)>0,g(x)↑0
∴g(an)>g(0),-an3-an+sinan>0
-an3>an-sinan=an-1
注：本题是以函数形式确定递推关系，把递推式中项与项的大小关系转化为函数的单调性。