福建省泉州市某重点中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题

（考试时间120分钟，总分150分）命题：陈惠彬 审题：邱形贵第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知为虚数单位,则复( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若角的终边在第二象限且经过点，则等于B．C．D．下列说法错误的是（　 　）A．已知函数，则是函数 B．，的夹角为，则“”是“”的C．若命题,则 D．的三个内角、的对边的长分别为、， 若 、、成等差数列 4.设向量,若,则等于B．C．D．3设是上的奇函数当时, 则等于? A. ?B. C. D.6.已知则向量的夹角为B．C．D．函数的部分图像是8.设函数，以下关于的导函数说法正确的有（ ）①其图像可由 向左平移 得到； ②其图像关于直线对称；③其图像关于点对称； ④在区间上是增函数．B．C．D．已知函数的图象关于对称,且当成立若,,则a,b,c的大小关系是（　 　）A．B．C．D． A. 0B. 1C. 2D. 3第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．11．如图，已知幂函数的图象过点， 则图中阴影部分的面积等于 . 12.已知函数则,则实数的值等于.13.在,且的面积为,则的长为.14．已知函数有三个不等实根则的取值范围是 .15．若对意为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数x、y的广义“距离”(1)非负性:时取等号;(2)对称性:;(3)三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号:①;②;③能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是___________.已知函数的定义域为A，函数的值域为B.（I）求；（II）若，且，求实数的取值范围.17．(本小题满分13分)已知函数的图像经过点.(Ⅰ)求函数的解析式及最大值；(Ⅱ)若，求的值.(Ⅰ)请将从甲地到乙地的运输成本错误！未找到引用源。（元）表示为航行速度错误！未找到引用源。（海里/小时）的函数； (Ⅱ)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？19．(本小题满分13分)已知函数在区间上单调递增在区间上单调递减．中、、分别为内角对的边，且满足．（）证明：；（）是外一点，设，时，求四边形面积的最大值．已知函数.(Ⅰ)求函数的x=1处的切线方程;(Ⅱ)求证:存在,使;(Ⅲ)对于函数与定义域内的任意实数x,若存在常数k,b,使得和都成立,则称直线为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”?若存在,请证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由.（）（本小题满分7分) 选修4―4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，）．（Ⅰ）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长．（）（本小题满分7分) 选修4―5：不等式选讲已知数满足．（Ⅰ）求的；（Ⅱ）若不等式对一切数恒成立，求实数的取值范围．已知为虚数单位,则复( D )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若角的终边在第二象限且经过点，则等于B．C．D．下列说法错误的是（　　）A．已知函数，则是函数 B．，的夹角为，则“”是“”的C．若命题,则 D．的三个内角、的对边的长分别为、， 若 、、成等差数列 4.设向量,若,则等于B．C．D．3设是上的奇函数当时, 则等于? A. ?B. C. D.6.已知则向量的夹角为B．C．D．函数的部分图像是8.设函数，以下关于的导函数说法正确的有（B）①其图像可由 向左平移 得到； ②其图像关于直线对称；③其图像关于点对称； ④在区间上是增函数．B．C．D．已知函数的图象关于对称,且当成立若,,则a,b,c的大小关系是（）A．B．C．D． A. 0B. 1C. 2D. 3第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．11．如图，已知幂函数的图象过点，则图中阴影部分的面积等于 . 12.已知函数则,则实数的值等于-3或l.13.在,且的面积为,则的长为 .14．已知函数有三个不等实根则的取值范围是 .15．若对意为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数x、y的广义“距离”(1)非负性:时取等号;(2)对称性:;(3)三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号:①;②;③能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是____①________.已知函数的定义域为A，函数的值域为B.（I）求；（II）若，且，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）由题意得： ……………………………2分 ……………………………………………………4分 ……………………………………………………………分（II）由（1）知：，又（1）当时，,，满足题意.……………………分（2）当即时，要使，则 …………分解得 ………………………………………………………分综上， ………………………………………………分已知函数的图像经过点.(Ⅰ)求函数的解析式及最大值；(Ⅱ)若，求的值.17. 解：（Ⅰ）， ∴ ，，…………………………3分 ∴ ，所以当，即时，取最大值. …6分 (Ⅱ) ，∴ ，……………………8分 ∵ ， ∴， ∴ ， ………………………………………10分 ∴ . ……………………………………………13分故当货轮航行速度为0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．……………1分（）解法2：由（Ⅰ） 错误！未找到引用源。………8分 错误！未找到引用源。故当货轮航行速度为0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少． ……1分………………………………………………………4分…………………………………………………6分（2）因为，所以，所以为等边三角形 …………………………8分,， 当且仅当即时取最大值,的最大值为………………13分20．(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)求函数的x=1处的切线方程;(Ⅱ)求证:存在,使;(Ⅲ)对于函数与定义域内的任意实数x,若存在常数k,b,使得和都成立,则称直线为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”?若存在,请证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)x=1时，切点坐标为（1，-2），切线斜率为，∴此时切线方程为： ……………………………………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ) 令解得 令解得. 知在(0,1)内单调递增,在上单调递减,令 ∴ 取则 故存在使即存在使 ………………分(说明:的取法不唯一,只要满足且即可)(Ⅱ)设则则当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.∴是函数的极小值点,也是最小值点, ∴∴函数与的图象在处有公共点(). ………………………分设与存在“分界线”且方程为,令函数①由≥,得在上恒成立,即在上恒成立,∴, 即, ∴,故………………………………………………………………………………………………11分②下面说明:, 即恒成立.设则∵当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,∴当时,取得最大值0,.∴成立.综合①②知且故函数与存在“分界线”, 此时 ……分（）（本小题满分7分) 选修4―4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，）．（Ⅰ）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长．解法一：（Ⅰ）由得，，即曲线的直角坐标方程为． ………………………………3分（Ⅱ）由直线经过点，得直线的直角坐标方程是，联立，消去，得，又点是抛物线的焦点，由抛物线定义，得弦长． ……………………7分解法二：（Ⅰ）同解法一． ………………………………3分（Ⅱ）由直线经过点，得，直线的参数方程为将直线的参数方程代入，得，所以． …………………7分（）（本小题满分7分) 选修4―5：不等式选讲已知数满足．（Ⅰ）求的；（Ⅱ）若不等式对一切数恒成立，求实数的取值范围．（Ⅰ）由柯西不等式，即，当且仅当即，时，取得最大值3………………分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式对一切数恒成立，当且仅当成立，即或解得，或，所以实数的取值范围是． …………………………分第19题图福建省泉州市某重点中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题
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