逍遥学能 2015-04-01 16:08
安徽省望江二中2014届高三复习班上学期第一次月考
数学（理）试题
第Ⅰ卷 （ 共50分）
一、：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
⒈ 设 （ 是虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
⒉ 已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
⒊ 若双曲线 的离心率为2，则 等于（ ）
A. B. C. D.
⒋ 甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为 、 ，则下列判断正确的是（ ）
A. ，甲比乙成绩稳定
B. ，乙比甲成绩稳定
C. ，甲比乙成绩稳定
D. ，乙比甲成绩稳定
⒌ 等差数列 中的 、 是函数 的极值点，则 （ ）
A. B. C. D.
⒍ 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径
为2，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
⒎ 已知函数 ，其导函数 的部分图像如图所示，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
⒏ 设变量 满足 ，若直线 经过该可行域，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
⒐ 已知偶函数 满足 ，且在区间 上单调递增.不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
10. 定义在 上的奇函数 ，满足 ， ，则函数 在区间 内零点个数的情况为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D．至少 个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.
11.已知 ，则 的展开式中的常数项是 （用数字作答）.
12. 执行如图所示的程序框图，输出结果S的值为 .
13.抛物线 上点 处的切线方程是 .
14. 已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 ( 为参数）. 、 分别是曲线 和直线 上的任意一点，则 的最小值为 .
15. 已知函数 ，给出下列五个说法：
① ；②若 ，则 ；③ 在区间 上单调递增； ④将函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象；⑤ 的图象关于点 成中心对称．其中正确说法的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.
16.（本小题满分12分）
在△ABC中，已知 ,其中 、 、 分别为 的内角 、 、 所对的边.求：
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求满足不等式 的角 的取值范围.
17.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥 中， ， ， ，设顶点 在底面 上的射影为 ．
（Ⅰ）求证: ；
（Ⅱ）设点 在棱 上，且 ，试求二面角
的余弦值．
18.（本小题满分12分）
已知函数 ， .
（Ⅰ）求 的极值；
（Ⅱ）当 时，若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围；
19.（本小题满分12分）
甲、乙两人进行围棋比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一方比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的 概率为 ，且各局胜负相互独立．已知第 二局比赛结束时比赛停止的 概率为 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望
20.（本小题满分13分）
数列 的前 项和为 ， ．
（Ⅰ）设 ，证明：数列 是等比数列；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）若 ， ，求不超过 的最大的整数值．
21.（本小题满分14分）
已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程；
（Ⅲ）设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 ，求 的取值范围.
安徽省望江中学2014届 第一次月考
数学（理）试题答案
⒈【解析】因为 ，所以 ，选C.
⒉【解析】因为 ，所以选A.
⒊【解析】由 知 ，而 ，解得 ，选D.
⒍【解析】由三视图可知，该几何体是有长方体里面挖了一个半圆柱体，可知，长方体的长为4，宽为3，高为2，那么圆柱体的高位3，底面的半径为1，则可知该几何体的体积为 ，故答案为C.
⒎【答案】B．
⒏【解析】直线 过定点 ，作可行域如右图所示，当定 点和B点连接时，斜率最大，此时 ，选A；
⒐【解析】因为偶函数 在区间 上是增函数且 ，所 以 可化为 ，则有 ，解得 的取值范围是 ，选B.
二、题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
题号⒒⒓⒔⒕⒖
答案 2 ①④
，则令 ，解得 ，从而常数项为 ；
⒔【解析】由 得 ，则 ，则在点 处的切线斜率为 ，所以切线方程为 ，即 .
⒕【解析】曲线 的直角坐标方程为 ，而直线 的普通方程为 ，曲线 与直线 平行，则 .
⒖【解析】 .①正确， ；②错误：由 ，知 或 ；③错误：令 ，得 ，由复合函数性质知 在每一个闭区间 上单调递增，但 ，故函数 在 上不是单调函数；④错误：将函数 的图象向右平移 个单位可得到 ；⑤错误：函数的对称中心的横坐标满足 ，解得 ，即对称中心坐标为 ，则点 不是其对称中心.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
⒘ （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）方法一：由 平面 ，得 ，
又 ，则 平面 ，
故 ，………………………………………… 3分
同理可得 ，则 为矩形，
又 ，则 为正方形，故 ．………………… 5分
方法二：由已知可得 ，设 为 的中点，则 ，则 平面 ，故平面 平面 ，则顶点 在底面 上的射影 必在 ，故 ．
（Ⅱ）方法一:由（I）的证明过程知 平面 ，过 作 ，垂足为 ，则易证得 ，故 即为二面角 的平面角，…………………………………… 8分
由已知可得 ，则 ，故 ，则 ，
又 ，则 ，…………………………………… 10分
故 ，即二面角 的余弦值为 …12分
方法二: 由（I）的证明过程知 为正方形，如图建立坐标系，
则 ， ， ，可得 ，…………………8分
则 ， ，易知平面
的一个法向量为 ，设平面 的 一个法向量为 ，则由 得 ………………………10分
则 ，即二面角 的余弦值为 ．………… 12分
⒙（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）函数 的定义域为 。 ………………………………………………1分
，令 得 …………………………………………………3分
当 为增函数； …………………………………………………4分
当 为减函数， …………………………………………………5分
可知 有极大值为 ………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由于 ,所以立不等式 在区间 上恒成立，即 在 上恒成立，
设
由（Ⅰ）知， 在 处取得最大值 ，∴ ……………………………………12分
【参考题】（Ⅲ）已知 且 ，求证： .
∵ ，由上可知 在 上单调递增，
∴ ，即 ①，
同理 ②
两式相加得 ，
∴
（Ⅱ）依题意知X的所有可能取值为2,4,6。…………6分
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有
，
，
，…………9分
则随机变量的分布列为
X246
P
故 .…………12分
⒛（本小题满分13分）
【解析】（Ⅰ）因为 ，
所以 ① 当 时， ，则 ，………………………………1分
② 当 时， ，……………………2分
所以 ，即 ，
所以 ，而 ，……………………3分
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ．……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．
所以 ① ，
② ，……………6分
②-①得： ，……………7分
.………………9分
（Ⅲ）由(1)知 ………………10分
，………12分
所以
，
故不超过 的最大整数为 ．……………………………………………13分
21.（本小题满分14分）
【解析】（Ⅰ）∵
∵直线 相切，
∴ ∴ …………3分
∵椭圆 的方程是 ………………6分
（Ⅱ）∵ ，
∴动点 到定直线 ： 的距离等于它到定点 的距离，
∴动点 的轨迹是 为 准线， 为焦点的抛物线 ………………6分
∴点 的轨迹 的方程为 …………9分
（Ⅲ） ，设 、
∴
∵ ，∴