逍遥学能 2015-03-24 09:36
摘 要：函数概念教学是高中教学的难点，基于APOS理论的教学设计有利于学生形成函数概念，并在同化和顺应基础上形成函数概念图式。
关键词：APOS；函数；概念
一、 概念同化教学与APOS 理论
高中新课程实行已经有四年多了，然而目前，相当多教师仍然采取传统的概念同化教学方式，其教学步骤为[1]：（1）揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特殊分类，揭示概念的外延；（3）巩固概念，利用概念的定义进行简单的识别活动；（4）概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。
这种教学方式有其精妙之处，但是过快的抽象过程只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。事实上，概念的同化教学对帮助学生构建良好的概念图式、原理图式，作用十分有限。因为心理意义是不能传授的，必需由学生自我构建，不能由教师代替学生操作、思考、体验。
美国数学教育学家 Ed.Dubinsky认为：一个人是不可能直接学习到数学概念的，更确切地说,人们透过心智结构（mental structure）使所学的数学概念产生意义。如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念。反之，如果他无法建立起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky认为，学生学习数学概念就是要建构心智结构，这一建构过程要经历以下4个阶段[2]：
二、基于APOS理论的函数教学设计
从数学教育的研究内容来看，关于代数内容已经逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心了[3]。函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。 函数概念本身不好理解。国外关于函数教学的研究表明了这一点——斯法德调查了60 名16 岁和18 岁的学生，结论是大多数学生认为函数的概念是个过程而不是静止的结构。中国学者也进行了相关的研究，见文献[4].
可见，函数确实成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。函数的教学在我国设置成螺旋式的教学，初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。笔者在浙江省义乌市第三中学陈向阳老师设计的《函数的概念》基础上进行思考，尝试用APOS理论来设计高中函数概念的教学。
（一）创设问题情境，引出课题
教师提出问题1：
我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出示投影）
我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学习函数呢？先请同学们思考下面的问题：
问题2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数y=x与函数表示同一个函数吗？
学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。
（二）生活实例演示，操作练习[活动（A）]
问题3：下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图像写出一件事．
(1)我离开家不久，发现自己把作业本可能忘在家里了，于是停下来找，没找到，就返回家里找到了作业本再上学；
(2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
活动小结：每一个时刻，按照图像，都有唯一确定的距离与它对应。
（三）借助信息技术，讨论归纳[过程（P）]
师：（实例1）演示动画，用《几何画板》动态地显示炮弹高度关于炮弹发射时间的函数。启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在的变化范围内，任给一个，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度与之相对应。
生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
师：（实例2）引导学生看图，并启发：在的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积与之相对应。
生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
师生：（实例3）共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
（四）从特殊到一般，引出函数概念[对象（O）]
问题4：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？
生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班交流。
师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为：
对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有唯一确定的与它对应，记作
教师强调指出“”仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号的含义，教师提出下一个问题：
问题5：一定就是函数的解析式吗？
师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。
问题6：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上教师归纳总结）
补充练习：下列图象中不能作为函数的图象的是（ ）
例1．已知函数，
（1）求函数、的定义域；（2）求的值；（3）当时，求的值。（4）求（5）求
让学生思考，并提问个别学生。
师问：怎样求函数的定义域？
追问：与有何区别与联系？
点拨：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量的函数，它是一个变量，是的一个特殊值。
追问：如何求，又如何求一般情况的？
具体地，可以将2带入函数求出具体值，再代入求出函数值。
对于抽象的，应该将看成一个整体，带入的解析式，求出的解析式。
问题7：函数的三要素是什么？
教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。
追问：如何判断两个函数是否相同？
以学生已解决的问题出发创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生在构建自身基础上的“再创造”，并通过独立思考后的讨论，培养学生分析解决问题、用数学语言交流沟通的能力。
例2．下列函数中哪个与函数相等？
（1） （2）（3） （4）
师问：判断函数相等的依据是什么？
变式：若改（2）为呢？
思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗？
启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点：
1．函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应；
2．函数的核心是对应法则，通常用记号表示函数的对应法则，在不同的函数中，的具体含义不一样。函数记号表明，对于定义域的任意一个在“对应法则”的作用下，即在中可得唯一的. 当在定义域中取一个确定的，对应的函数值即为.集合中并非所有的元素在定义域中都有元素和它对应；值域；
3．函数符号的说明：
（1）“”即为“是的函数”的符号表示；（2）不一定能用解析式表示；（3）与是不同的，通常，表示函数当时的函数值；（4）在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号外，还常用、、等符号来表示。
4．定义域是函数的重要组成部分，如与是不同的两个函数。
（五）借助熟悉的函数，加深对函数概念的理解[图式（S）]
问题8：集合A（A=R）到集合B（B=R）的对应：: A→B，使得集合B中的元素与集合A中的元素对应，如何表示这个函数？定义域和值域各是什么？函数呢？函数呢？
教师演示动画，用《几何画板》显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：
函数
一次函数
反比例函数
二次函数
对应关系
a＞0
a＜0
定义域
值域
用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。同时利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用，更好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。
（六）再创情境，引导探究函数概念的新认识[图式（S）]
问题9：比较函数的近代定义与传统定义（即初中课本函数的定义）的异同点，你对函数有什么新的认识？
学生思考、讨论，教师点拨：函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
问题10：学生在前面学习的基础上，反思对问题2的解答，重新思考问题2，谈谈自己的认识。教师启发、引导学生画图，以形求数。
师生：是函数；与不是同一个函数。
引导学生对问题2进行反思和总结，并将之一般化，利用数学语言来表达，培养学生反思问题、总结归纳的习惯和善于运用数学语言抽象所发现的结论的能力。
（七）举例应用，深化目标[图式（S）]
例3．已知函数
（1）画出函数的图象；（2）求的值；（3）你从（2）中发现了什么结论？（4）求函数的值域。
为了让学生体会到从特殊到一般的思想方法，同时也后面研究函数的性质（奇函数）作准备。
教师引导学生解决此题的关键点，并进行变式：
变式1：已知，① 当时，求函数的值域；② 当时，求函数的值域。
变式2：已知，① 当函数值域为时，求函数定义域；② 当函数值域为时，求函数定义域。
变式3：（1）已知，求的值。（2）已知，求函数.
变式4：已知，，求①的解析式；②的解析式；③的解析式。
以一个问题为背景，一题多用，一题多变，由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展。通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养学生探究问题的能力，从而提升学生的思维品质。借助三个变式层层深入，是理论到实践的升华，使概念深化、强化、类化的作用与含义印入心底，得到再次认同，初步掌握与应用能力也就自然形成了。
（八）练习交流，反馈巩固
以学生回答、板演的形式进行课堂练习，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来巩固本节课的学习。
（九）学生归纳小结，教师评价
以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组讨论，对本节课所学的内容进行自主小结，教师及时进行归纳总结：1．函数的近代定义与传统定义的异同点；2．集合与函数的联系、区别；3．函数的三要素；4．数形结合的思想。
三、几点启示
APOS理论对学生的函数概念的理解作出了分层分析，可以预测学生已经在多大程度上对性质作出了心理建构，从而推知学生对函数概念的掌握起点。基于APOS理论的理念设计数学性质教学，实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，有利于学生理解函数的概念。
教学中教师要关注数学本身的特点，更重要的是要关注课堂上学生的掌握概念的思维状况，将数学知识和学生探究活动有机结合，要求教师要重视学生的学习活动，让学生亲身创设问题情境。数学教师要意识到：一个数学概念由“过程”到“对象”的建立, 有时既困难又漫长, 需要经过多次反复,循序渐进,螺旋上升, 直至学生真正理解,“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。
学生对于函数概念的认识不是一蹴而就的，这就要要教师在教学过程中整体处理教材，把握教学的度，结合具体的问题有意识地在各个阶段的学习过程中，帮助学生逐步形成函数完整的知识链。在往后的教学中要注意学生对知识的图式的建立, 即加强知识间的联系和应用,如在讲解具体的指数函数、对数函数、幂函数时，可以以具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体──抽象──具体”的过程，是函数概念理解的深化。又如，在讲解不等式、方程的求解及应用后，可以与函数相结合，进行对比，从而加深对函数概念的理解，帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式。
当然，APOS 理论的四个阶段并非一定体现在一堂数学课当中, 也不是每一课都必须遍历四个阶段, 它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期,并不局限于某一堂课。比如，函数图式的形成是需要一个长期实践与反思。有些学生需要在接触了大量的具体的函数模型以后，甚至在学习了函数的复合、微分、积分以后，才能渐渐地实现从“过程”到“对象”的理解，再由“对象”到“图式”的发展。作为老师，我们应该理解学生的实际，作为数学的学习过程，也是允许学生有折返的现象。
参考文献：
①张耀，数学概念教学研究综述[J]. 运程学院学报，2005，4（2）39-41.
②鲍建生, 周超, 数学学习的心理基础和过程[M].上海教育出版社，2009.
③张奠宙, 张广祥．中学代数研究[M]．北京：高等教育出版社，2006.
④濮安山, 史宁中, 从 APOS 理论看高中生对函数概念的理解[J]，数学教育学报，2007，5(2)，48-50.
作者简介：吴洁华，女，2007.9～2011.6就读于华南师范大学数学科学学院数学与应用数学(师范)专业，保送课程与教学论“4+2”研究生（现读研究生一年级）。论文《矩阵最小多项式的求解及应用》发表于韩山师范学院学报2010年第6期。