逍遥学能 2015-03-17 14:09
19世纪俄国文学巨匠列夫·托尔斯泰在《一个人需要很多土地吗？》这本小册子中叙述了这样一个故事。
巴霍姆到草原去购买土地。卖地的酋长出了一个奇怪的地价：谁出1000卢布，谁就可以得到土地，只要他在日出时从规定的地点出发，在日落前返回原出发地，那么他所走过的线路圈起的土地就全部归属于他。但是，如果他在太阳落山前赶不回原出发地，那么走得再多也得不到半点土地，同时那1000卢布也就算白花了。
巴霍姆觉得这个条件对自己有利，于是就付了1000卢市，接受了这笔买卖。他决心拿出吃奶的劲，跑出最远的路，获得尽可能多的土地。
第二天，太阳刚刚从地平线升起．巴霍姆就赶忙在草原上大踏步向前走去。他走啊，走啊，走了足足有10公里，这才朝左拐弯；接着又走了很久，才再向左拐弯；然后他又走了2公里，这时，他看到天色不早，也早已累得不行了，可是离清晨出发的地方还足有15公里，于是不得不马上改变方向，径直朝出发地点拼命跑去。最后，巴霍姆总算在日落之前赶回了原地，但他却丝毫未能捞到便宜。因为他劳累过度，待到出发地点，还未站稳，就两腿一软。口吐鲜血死了。
托尔斯泰写这个故事，是为了讽刺有些人要财不要命的贪婪本性。
但是，我们读这个故事时，不仅会对巴霍姆因贪心丢了自己的命而感叹万分，同时，我们还会发现，他如果多具备一些数学知识，本来是可以少跑些路却多围一些土地的。
实际上，在这一天中，巴霍姆走过的路线如图1所示，是一个梯形，他所走过的路程，是这个梯形的周长。从图1中可以看出，梯形ABCD的周长是：
图1
AB+BC+CD+DA。
由已知，AB=10公里，CD=2公里，DA=15公里。
在Rt三角形ADE中，根据勾股定理，可求得直角边DE的长是：
由于BC=DE，因此巴霍姆一共走了
10+12.7+2.15=39.7（公里）
而梯形ABCD的面积是：。
我们可以知道，在平面上周长相等的n边形中，正n边形所围的面积最大。比如，若四边形ABCD不是一梯形而是一个正方形，那么当边长是9公里时，其面积可达81平方公里，而这时它的周长只有36公里。也就是说，巴霍姆如果走过的线路可以围成一个正方形，那么他起码可以少走3.7公里，但是多围出48平方公里的土地。
实际上，在平面上一切等周长的封闭图形中，圆所围成面积最大。
因此，如果巴霍姆走的线路是一个以5公里为半径的圆，那么，这个圆所围的面积是78.5平方公里，而这个圆的周长只有31.4公里。也就是说，他少走83公里所围出的地却比他原来围的地多出2.3平方公里。
如果巴霍姆走的线路是一个以6公里为半径的圆，那么，这个圆的周长是37.7公里，面积是113.0平方公里。即巴霍姆可以少走2公里的路，但多得到36.8平方公里的士地。
巴霍姆如果多懂些数学知识，少一些贪婪，也许他能幸免一死吧？