逍遥学能 2015-03-13 14:06
一、选择题
1.下列结论正确的是( ).
A.当且时，； B.当时，；
C.当时，的最小值为2； D.当时，的最小值为2
考查目的：考查基本不等式及其在求最值中的应用.
答案：B.
解析：A选择项中可能为负，不适合基本不等式；C，D选择项中适合基本不等式，但取最小值等号取不到.只有B正确.
2.(2009天津理)设，若是与的等比中项，则的最小值为( ).
A.8 B.4 C.1 D.
考查目的：考查等比中项的概念、指数的运算，以及基本不等式求最值的运用.
答案：C.
解析：∵，∴，则，当且仅当即时取“＝”号，故选择C.
3.(2007海南、宁夏理)已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是( )
A. B. C. D.
考查目的：考查等差、等比数列的概念与性质以及基本不等式的应用.
答案：D.
解析：∵，，成等差数列，成等比数列，∴，，则，当且仅当时取等号.
二、填空题
4.(2010山东理)若对任意，，则实数的取值范围是 .
考查目的：考查分式不等式恒成立问题的解法，以及利用基本不等式求最值等知识.
答案：.
解析：因为，所以(当且仅当时取等号)，则，即的最大值为，故.
5.(2011江苏卷)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点，则线段长的最小值是 .
考查目的：考查反比例函数的图象与性质、坐标平面内两点间的距离公式等基础知识，考查基本不等式的应用.
答案：4.
解析：因为函数是奇函数，所以两点关于原点对称，可设，，则，当且仅当，即时取等号.
6.已知，则的最大值是 .
考查目的：考查基本不等式的应用、分析判断能力和运算求解能力.
答案：2.
解析：∵，∴，∴当且仅当时，的最大值2.
三、解答题
7.已知，，是等边的顶点，点分别在边上，且将的面积二等分，记的横坐标为，.
⑴写出的表达式；⑵求的最小值.
考查目的：考查余弦定理、函数的解析式、基本不等式等基础知识，以及运算求解能力.
答案：⑴；⑵当时，.
解析：⑴∵，又∵，解得，∴.
⑵∵，∴，时取等号.
8. 已知，试比较的大小.
考查目的：考查不等式的性质、基本不等式等基础知识，以及推理论证能力和运算求解能力.
答案：当时，；当时，；当时，.
解析：∵，当且仅当时取等号，∴①当时，，而由得，∴：②当时，；③当时，，再由①得，于是，∴.
综上所述：当时，；当时，；当时，.