逍遥学能 2015-03-05 12:00
一、选择题
1.一束光线与玻璃成角，穿过折射率为1.5(折射率=，其中为入射角，为折射角)厚度为的一块玻璃，则光线在玻璃内的行程是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查三角函数模型的物理应用及计算.
答案：B.
解析：∵，∴在玻璃中行程为.
2.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么( ).
A.1 B. C. D.
考查目的：考查勾股定理、三角函数的定义，以及把实际问题转化为三角函数求值问题的能力.
答案：C.
解析：依题意得，大、小正方形的边长分别为5，1，设直角三角形中较长的直角边为，由解得，，∴，∴.
3.已知函数，其中.若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则( ).
A.在区间上是增函数 B.在区间上是增函数
C.在区间上是减函数 D.在区间上是减函数
考查目的：考查三角函数的周期性和单调性.
答案：A.
解析：∵，，∴的递增区间为.
二、填空题
4.现在是北京时间10点整，设时针与分针夹角为，则 .
考查目的：考查三角函数的求值，以及将实际问题转化为数学问题的能力.
答案：.
解析：∵，∴.
5.若函数的图象与直线有且只有两个不同的交点，则的取值范围是 .
考查目的：考查正弦函数的图象和数形结合思想.
答案：.
解析：，画图，由数形结合思想可知，.
6.设，其中为非零常数.若，则 .
考查目的：考查三角函数的诱导公式、正弦函数的周期性和函数性质的综合应用能力.
答案：1.
解析：.
三、解答题
7.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数.
⑴求这段时间的最大温差
⑵写出这段曲线的函数解析式.
考查目的：考查函数的图象与性质，以及实际问题转化为数学问题的能力.
答案：⑴20(℃)；⑵
解析：⑴由图知这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)；
⑵在图中，从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象，∴，解得.由图知，，这时.
将代入上式，可取.
综上所述，所求解析式为.
8.已知函数()的图象的一部分如下图所示.
⑴求函数的解析式；
⑵当时，求函数的最大值与最小值及相应的的值.
考查目的：考查函数的图象和性质，以及分析推理能力.
答案：⑴；⑵当时，最大值；当时，最小值为.
解析：⑴由图像知，.∵，∴.又∵图象经过点，∴，且，∴，∴.
⑵∵，∴当，即当时，的最大值为；当， 即当时，最小值为.